Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8509 / 8619
↖ ↑ ↗
← S  9.340672°
E  6.965332°		 ← 2 410.82 m → S  9.340672°
E  6.987305°		 →
↑
2 410.79 m
↓
↑
2 410.79 m
↓
S  9.362353°
E  6.965332°		 ← 2 410.67 m →
5 811 790 m²		 S  9.362353°
E  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519378662109375 y=0.526092529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519378662109375 × 214)
    floor (0.519378662109375 × 16384)
    floor (8509.5)     		tx = 8509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526092529296875 × 214)
    floor (0.526092529296875 × 16384)
    floor (8619.5)     		ty = 8619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8509 / 8619 ti = "14/8509/8619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8509/8619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8509 ÷ 214
    8509 ÷ 16384     		x = 0.51934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8619 ÷ 214
    8619 ÷ 16384     		y = 0.52606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51934814453125 × 2 - 1) × π
    0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.163752449102112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12156798} λ = 0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163752449102112))-π/2
    2×atan(0.848952154738014)-π/2
    2×0.703885421437252-π/2
    1.4077708428745-1.57079632675     		φ = -0.16302548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16302548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.340672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8509 KachelY 8619 0.12156798 -0.16302548 6.965332 -9.340672
    Oben rechts KachelX + 1 8510 KachelY 8619 0.12195147 -0.16302548 6.987305 -9.340672
    Unten links KachelX 8509 KachelY + 1 8620 0.12156798 -0.16340388 6.965332 -9.362353
    Unten rechts KachelX + 1 8510 KachelY + 1 8620 0.12195147 -0.16340388 6.987305 -9.362353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16302548--0.16340388) × R
    0.000378400000000001 × 6371000     		dl = 2410.78640000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16302548--0.16340388) × R
    0.000378400000000001 × 6371000     		dr = 2410.78640000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12156798-0.12195147) × cos(-0.16302548) × R
    0.00038349 × 0.986740751759783 × 6371000     		do = 2410.81959859522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12156798-0.12195147) × cos(-0.16340388) × R
    0.00038349 × 0.986679265166605 × 6371000     		du = 2410.66937364138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16302548)-sin(-0.16340388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986740751759783-0.986679265166605)×R²
    abs(0.12195147-0.12156798)×6.14865931786168e-05×R²
    0.00038349×6.14865931786168e-05×6371000²
    0.00038349×6.14865931786168e-05×40589641000000     		ar = 5811790.09035682m²