Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8508 / 8639
↖ ↑ ↗
← S  9.774025°
E  6.943359°		 ← 2 407.81 m → S  9.774025°
E  6.965332°		 →
↑
2 407.73 m
↓
↑
2 407.73 m
↓
S  9.795678°
E  6.943359°		 ← 2 407.66 m →
5 797 174 m²		 S  9.795678°
E  6.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519317626953125 y=0.527313232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519317626953125 × 214)
    floor (0.519317626953125 × 16384)
    floor (8508.5)     		tx = 8508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527313232421875 × 214)
    floor (0.527313232421875 × 16384)
    floor (8639.5)     		ty = 8639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8508 / 8639 ti = "14/8508/8639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8508/8639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8508 ÷ 214
    8508 ÷ 16384     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8639 ÷ 214
    8639 ÷ 16384     		y = 0.52728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0545654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171422353041321))-π/2
    2×atan(0.842465680378329)-π/2
    2×0.700103708477288-π/2
    1.40020741695458-1.57079632675     		φ = -0.17058891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17058891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.774025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8508 KachelY 8639 0.12118448 -0.17058891 6.943359 -9.774025
    Oben rechts KachelX + 1 8509 KachelY 8639 0.12156798 -0.17058891 6.965332 -9.774025
    Unten links KachelX 8508 KachelY + 1 8640 0.12118448 -0.17096683 6.943359 -9.795678
    Unten rechts KachelX + 1 8509 KachelY + 1 8640 0.12156798 -0.17096683 6.965332 -9.795678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17058891--0.17096683) × R
    0.000377919999999976 × 6371000     		dl = 2407.72831999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17058891--0.17096683) × R
    0.000377919999999976 × 6371000     		dr = 2407.72831999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12156798) × cos(-0.17058891) × R
    0.000383500000000009 × 0.985484962830351 × 6371000     		do = 2407.81422175675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12156798) × cos(-0.17096683) × R
    0.000383500000000009 × 0.9854207357218 × 6371000     		du = 2407.65729704331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17058891)-sin(-0.17096683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985484962830351-0.9854207357218)×R²
    abs(0.12156798-0.12118448)×6.42271085506962e-05×R²
    0.000383500000000009×6.42271085506962e-05×6371000²
    0.000383500000000009×6.42271085506962e-05×40589641000000     		ar = 5797173.64398182m²