Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8508 / 8593
↖ ↑ ↗
← S  8.776511°
E  6.943359°		 ← 2 414.67 m → S  8.776511°
E  6.965332°		 →
↑
2 414.55 m
↓
↑
2 414.55 m
↓
S  8.798225°
E  6.943359°		 ← 2 414.53 m →
5 830 160 m²		 S  8.798225°
E  6.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519317626953125 y=0.524505615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519317626953125 × 214)
    floor (0.519317626953125 × 16384)
    floor (8508.5)     		tx = 8508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524505615234375 × 214)
    floor (0.524505615234375 × 16384)
    floor (8593.5)     		ty = 8593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8508 / 8593 ti = "14/8508/8593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8508/8593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8508 ÷ 214
    8508 ÷ 16384     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8593 ÷ 214
    8593 ÷ 16384     		y = 0.52447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15378157398114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15378157398114))-π/2
    2×atan(0.857459291977768)-π/2
    2×0.708808658983781-π/2
    1.41761731796756-1.57079632675     		φ = -0.15317901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15317901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.776511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8508 KachelY 8593 0.12118448 -0.15317901 6.943359 -8.776511
    Oben rechts KachelX + 1 8509 KachelY 8593 0.12156798 -0.15317901 6.965332 -8.776511
    Unten links KachelX 8508 KachelY + 1 8594 0.12118448 -0.15355800 6.943359 -8.798225
    Unten rechts KachelX + 1 8509 KachelY + 1 8594 0.12156798 -0.15355800 6.965332 -8.798225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15317901--0.15355800) × R
    0.000378989999999996 × 6371000     		dl = 2414.54528999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15317901--0.15355800) × R
    0.000378989999999996 × 6371000     		dr = 2414.54528999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12156798) × cos(-0.15317901) × R
    0.000383500000000009 × 0.988291017110952 × 6371000     		do = 2414.67019385038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12156798) × cos(-0.15355800) × R
    0.000383500000000009 × 0.988233119582641 × 6371000     		du = 2414.52873406425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15317901)-sin(-0.15355800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988291017110952-0.988233119582641)×R²
    abs(0.12156798-0.12118448)×5.78975283103134e-05×R²
    0.000383500000000009×5.78975283103134e-05×6371000²
    0.000383500000000009×5.78975283103134e-05×40589641000000     		ar = 5830159.83271821m²