Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85079 / 97128
↖ ↑ ↗
← S 65.192251°
E 53.676453°		 ← 128.15 m → S 65.192251°
E 53.679199°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.193403°
E 53.676453°		 ← 128.14 m →
16 426 m²		 S 65.193403°
E 53.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649105072021484 y=0.741031646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649105072021484 × 217)
    floor (0.649105072021484 × 131072)
    floor (85079.5)     		tx = 85079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741031646728516 × 217)
    floor (0.741031646728516 × 131072)
    floor (97128.5)     		ty = 97128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85079 / 97128 ti = "17/85079/97128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85079/97128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85079 ÷ 217
    85079 ÷ 131072     		x = 0.649101257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97128 ÷ 217
    97128 ÷ 131072     		y = 0.74102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649101257324219 × 2 - 1) × π
    0.298202514648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.93683083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51442253279681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93683083} λ = 0.93683083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51442253279681))-π/2
    2×atan(0.219935153522097)-π/2
    2×0.216488451332215-π/2
    0.43297690266443-1.57079632675     		φ = -1.13781942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93683083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.676453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13781942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.192251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85079 KachelY 97128 0.93683083 -1.13781942 53.676453 -65.192251
    Oben rechts KachelX + 1 85080 KachelY 97128 0.93687877 -1.13781942 53.679199 -65.192251
    Unten links KachelX 85079 KachelY + 1 97129 0.93683083 -1.13783954 53.676453 -65.193403
    Unten rechts KachelX + 1 85080 KachelY + 1 97129 0.93687877 -1.13783954 53.679199 -65.193403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13781942--1.13783954) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13781942--1.13783954) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93683083-0.93687877) × cos(-1.13781942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41957485760138 × 6371000     		do = 128.148961368212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93683083-0.93687877) × cos(-1.13783954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4195565941752 × 6371000     		du = 128.143383247756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13781942)-sin(-1.13783954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41957485760138-0.4195565941752)×R²
    abs(0.93687877-0.93683083)×1.8263426179832e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8263426179832e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8263426179832e-05×40589641000000     		ar = 16426.3555877969m²