Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8507 / 8373
↖ ↑ ↗
← N 78.982939°
W133.269653°		 ← 116.72 m → N 78.982939°
W133.264160°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
N 78.981889°
W133.269653°		 ← 116.73 m →
13 624 m²		 N 78.981889°
W133.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129814147949219 y=0.127769470214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129814147949219 × 216)
    floor (0.129814147949219 × 65536)
    floor (8507.5)     		tx = 8507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127769470214844 × 216)
    floor (0.127769470214844 × 65536)
    floor (8373.5)     		ty = 8373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8507 / 8373 ti = "16/8507/8373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8507/8373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8507 ÷ 216
    8507 ÷ 65536     		x = 0.129806518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8373 ÷ 216
    8373 ÷ 65536     		y = 0.127761840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129806518554688 × 2 - 1) × π
    -0.740386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32599424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127761840820312 × 2 - 1) × π
    0.744476318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33884133246254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32599424} λ = -2.32599424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33884133246254))-π/2
    2×atan(10.3692151266967)-π/2
    2×1.47465433405371-π/2
    2.94930866810743-1.57079632675     		φ = 1.37851234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32599424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.269653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37851234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.982939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8507 KachelY 8373 -2.32599424 1.37851234 -133.269653 78.982939
    Oben rechts KachelX + 1 8508 KachelY 8373 -2.32589837 1.37851234 -133.264160 78.982939
    Unten links KachelX 8507 KachelY + 1 8374 -2.32599424 1.37849402 -133.269653 78.981889
    Unten rechts KachelX + 1 8508 KachelY + 1 8374 -2.32589837 1.37849402 -133.264160 78.981889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37851234-1.37849402) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000     		dl = 116.716719999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37851234-1.37849402) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000     		dr = 116.716719999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32599424--2.32589837) × cos(1.37851234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191101285131971 × 6371000     		do = 116.722327789888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32599424--2.32589837) × cos(1.37849402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191119267468217 × 6371000     		du = 116.733311180943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37851234)-sin(1.37849402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191101285131971-0.191119267468217)×R²
    abs(-2.32589837--2.32599424)×1.79823362456977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79823362456977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79823362456977e-05×40589641000000     		ar = 13624.0882235269m²