Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8506 / 8654
↖ ↑ ↗
← S 10.098670°
E  6.899414°		 ← 2 405.43 m → S 10.098670°
E  6.921387°		 →
↑
2 405.31 m
↓
↑
2 405.31 m
↓
S 10.120301°
E  6.899414°		 ← 2 405.26 m →
5 785 593 m²		 S 10.120301°
E  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519195556640625 y=0.528228759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519195556640625 × 214)
    floor (0.519195556640625 × 16384)
    floor (8506.5)     		tx = 8506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528228759765625 × 214)
    floor (0.528228759765625 × 16384)
    floor (8654.5)     		ty = 8654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8506 / 8654 ti = "14/8506/8654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8506/8654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8506 ÷ 214
    8506 ÷ 16384     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8654 ÷ 214
    8654 ÷ 16384     		y = 0.5281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.056396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.177174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177174780995728))-π/2
    2×atan(0.837633369333724)-π/2
    2×0.69727064156129-π/2
    1.39454128312258-1.57079632675     		φ = -0.17625504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17625504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.098670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8506 KachelY 8654 0.12041749 -0.17625504 6.899414 -10.098670
    Oben rechts KachelX + 1 8507 KachelY 8654 0.12080099 -0.17625504 6.921387 -10.098670
    Unten links KachelX 8506 KachelY + 1 8655 0.12041749 -0.17663258 6.899414 -10.120301
    Unten rechts KachelX + 1 8507 KachelY + 1 8655 0.12080099 -0.17663258 6.921387 -10.120301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17625504--0.17663258) × R
    0.00037754000000001 × 6371000     		dl = 2405.30734000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17625504--0.17663258) × R
    0.00037754000000001 × 6371000     		dr = 2405.30734000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12080099) × cos(-0.17625504) × R
    0.000383499999999995 × 0.984507250751501 × 6371000     		do = 2405.42539885522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12080099) × cos(-0.17663258) × R
    0.000383499999999995 × 0.984440981263803 × 6371000     		du = 2405.26348404072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17625504)-sin(-0.17663258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984507250751501-0.984440981263803)×R²
    abs(0.12080099-0.12041749)×6.62694876985004e-05×R²
    0.000383499999999995×6.62694876985004e-05×6371000²
    0.000383499999999995×6.62694876985004e-05×40589641000000     		ar = 5785592.70896442m²