Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8506 / 8532
↖ ↑ ↗
← S  7.449624°
E  6.899414°		 ← 2 422.66 m → S  7.449624°
E  6.921387°		 →
↑
2 422.57 m
↓
↑
2 422.57 m
↓
S  7.471411°
E  6.899414°		 ← 2 422.53 m →
5 868 913 m²		 S  7.471411°
E  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519195556640625 y=0.520782470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519195556640625 × 214)
    floor (0.519195556640625 × 16384)
    floor (8506.5)     		tx = 8506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520782470703125 × 214)
    floor (0.520782470703125 × 16384)
    floor (8532.5)     		ty = 8532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8506 / 8532 ti = "14/8506/8532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8506/8532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8506 ÷ 214
    8506 ÷ 16384     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8532 ÷ 214
    8532 ÷ 16384     		y = 0.520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.04150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.130388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130388366966553))-π/2
    2×atan(0.877754473874223)-π/2
    2×0.720387927710847-π/2
    1.44077585542169-1.57079632675     		φ = -0.13002047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13002047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.449624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8506 KachelY 8532 0.12041749 -0.13002047 6.899414 -7.449624
    Oben rechts KachelX + 1 8507 KachelY 8532 0.12080099 -0.13002047 6.921387 -7.449624
    Unten links KachelX 8506 KachelY + 1 8533 0.12041749 -0.13040072 6.899414 -7.471411
    Unten rechts KachelX + 1 8507 KachelY + 1 8533 0.12080099 -0.13040072 6.921387 -7.471411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13002047--0.13040072) × R
    0.000380249999999999 × 6371000     		dl = 2422.57274999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13002047--0.13040072) × R
    0.000380249999999999 × 6371000     		dr = 2422.57274999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12080099) × cos(-0.13002047) × R
    0.000383499999999995 × 0.991559239896146 × 6371000     		do = 2422.65537231456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12080099) × cos(-0.13040072) × R
    0.000383499999999995 × 0.99150986711177 × 6371000     		du = 2422.53474085201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13002047)-sin(-0.13040072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991559239896146-0.99150986711177)×R²
    abs(0.12080099-0.12041749)×4.93727843757785e-05×R²
    0.000383499999999995×4.93727843757785e-05×6371000²
    0.000383499999999995×4.93727843757785e-05×40589641000000     		ar = 5868912.83907909m²