Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8506 / 5308
↖ ↑ ↗
← N 53.383329°
E  6.899414°		 ← 1 457.31 m → N 53.383329°
E  6.921387°		 →
↑
1 457.56 m
↓
↑
1 457.56 m
↓
N 53.370220°
E  6.899414°		 ← 1 457.76 m →
2 124 446 m²		 N 53.370220°
E  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519195556640625 y=0.324005126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519195556640625 × 214)
    floor (0.519195556640625 × 16384)
    floor (8506.5)     		tx = 8506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324005126953125 × 214)
    floor (0.324005126953125 × 16384)
    floor (5308.5)     		ty = 5308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8506 / 5308 ti = "14/8506/5308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8506/5308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8506 ÷ 214
    8506 ÷ 16384     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5308 ÷ 214
    5308 ÷ 16384     		y = 0.323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323974609375 × 2 - 1) × π
    0.35205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10600014803394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10600014803394))-π/2
    2×atan(3.02224565078582)-π/2
    2×1.25125558623173-π/2
    2.50251117246345-1.57079632675     		φ = 0.93171485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93171485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.383329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8506 KachelY 5308 0.12041749 0.93171485 6.899414 53.383329
    Oben rechts KachelX + 1 8507 KachelY 5308 0.12080099 0.93171485 6.921387 53.383329
    Unten links KachelX 8506 KachelY + 1 5309 0.12041749 0.93148607 6.899414 53.370220
    Unten rechts KachelX + 1 8507 KachelY + 1 5309 0.12080099 0.93148607 6.921387 53.370220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93171485-0.93148607) × R
    0.000228779999999928 × 6371000     		dl = 1457.55737999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93171485-0.93148607) × R
    0.000228779999999928 × 6371000     		dr = 1457.55737999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12080099) × cos(0.93171485) × R
    0.000383499999999995 × 0.596458445977293 × 6371000     		do = 1457.31409719971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12080099) × cos(0.93148607) × R
    0.000383499999999995 × 0.596642059250843 × 6371000     		du = 1457.76271556329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93171485)-sin(0.93148607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596458445977293-0.596642059250843)×R²
    abs(0.12080099-0.12041749)×0.000183613273550209×R²
    0.000383499999999995×0.000183613273550209×6371000²
    0.000383499999999995×0.000183613273550209×40589641000000     		ar = 2124445.87012082m²