Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8505 / 8614
↖ ↑ ↗
← S  9.232249°
E  6.877442°		 ← 2 411.57 m → S  9.232249°
E  6.899414°		 →
↑
2 411.49 m
↓
↑
2 411.49 m
↓
S  9.253936°
E  6.877442°		 ← 2 411.42 m →
5 815 281 m²		 S  9.253936°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519134521484375 y=0.525787353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519134521484375 × 214)
    floor (0.519134521484375 × 16384)
    floor (8505.5)     		tx = 8505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525787353515625 × 214)
    floor (0.525787353515625 × 16384)
    floor (8614.5)     		ty = 8614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8505 / 8614 ti = "14/8505/8614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8505/8614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8505 ÷ 214
    8505 ÷ 16384     		x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8614 ÷ 214
    8614 ÷ 16384     		y = 0.5257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.16183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16183497311731))-π/2
    2×atan(0.85058156178217)-π/2
    2×0.704831593943156-π/2
    1.40966318788631-1.57079632675     		φ = -0.16113314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16113314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.232249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8505 KachelY 8614 0.12003400 -0.16113314 6.877442 -9.232249
    Oben rechts KachelX + 1 8506 KachelY 8614 0.12041749 -0.16113314 6.899414 -9.232249
    Unten links KachelX 8505 KachelY + 1 8615 0.12003400 -0.16151165 6.877442 -9.253936
    Unten rechts KachelX + 1 8506 KachelY + 1 8615 0.12041749 -0.16151165 6.899414 -9.253936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16113314--0.16151165) × R
    0.000378509999999999 × 6371000     		dl = 2411.48720999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16113314--0.16151165) × R
    0.000378509999999999 × 6371000     		dr = 2411.48720999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12041749) × cos(-0.16113314) × R
    0.00038349 × 0.98704611977868 × 6371000     		do = 2411.56567825538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12041749) × cos(-0.16151165) × R
    0.00038349 × 0.986985322151049 × 6371000     		du = 2411.41713659236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16113314)-sin(-0.16151165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98704611977868-0.986985322151049)×R²
    abs(0.12041749-0.12003400)×6.0797627630671e-05×R²
    0.00038349×6.0797627630671e-05×6371000²
    0.00038349×6.0797627630671e-05×40589641000000     		ar = 5815280.75545728m²