Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8504 / 8582
↖ ↑ ↗
← S  8.537566°
E  6.855469°		 ← 2 416.20 m → S  8.537566°
E  6.877442°		 →
↑
2 416.07 m
↓
↑
2 416.07 m
↓
S  8.559294°
E  6.855469°		 ← 2 416.07 m →
5 837 562 m²		 S  8.559294°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519073486328125 y=0.523834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519073486328125 × 214)
    floor (0.519073486328125 × 16384)
    floor (8504.5)     		tx = 8504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523834228515625 × 214)
    floor (0.523834228515625 × 16384)
    floor (8582.5)     		ty = 8582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8504 / 8582 ti = "14/8504/8582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8504/8582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8504 ÷ 214
    8504 ÷ 16384     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8582 ÷ 214
    8582 ÷ 16384     		y = 0.5238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.149563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149563126814575))-π/2
    2×atan(0.861084078808981)-π/2
    2×0.710893850661705-π/2
    1.42178770132341-1.57079632675     		φ = -0.14900863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14900863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.537566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8504 KachelY 8582 0.11965050 -0.14900863 6.855469 -8.537566
    Oben rechts KachelX + 1 8505 KachelY 8582 0.12003400 -0.14900863 6.877442 -8.537566
    Unten links KachelX 8504 KachelY + 1 8583 0.11965050 -0.14938786 6.855469 -8.559294
    Unten rechts KachelX + 1 8505 KachelY + 1 8583 0.12003400 -0.14938786 6.877442 -8.559294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14900863--0.14938786) × R
    0.000379230000000008 × 6371000     		dl = 2416.07433000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14900863--0.14938786) × R
    0.000379230000000008 × 6371000     		dr = 2416.07433000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(-0.14900863) × R
    0.000383499999999995 × 0.98891874050394 × 6371000     		do = 2416.20389692032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(-0.14938786) × R
    0.000383499999999995 × 0.988862369734883 × 6371000     		du = 2416.06616743226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14900863)-sin(-0.14938786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98891874050394-0.988862369734883)×R²
    abs(0.12003400-0.11965050)×5.63707690578452e-05×R²
    0.000383499999999995×5.63707690578452e-05×6371000²
    0.000383499999999995×5.63707690578452e-05×40589641000000     		ar = 5837561.89901585m²