Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8504 / 5306
↖ ↑ ↗
← N 53.409532°
E  6.855469°		 ← 1 456.42 m → N 53.409532°
E  6.877442°		 →
↑
1 456.60 m
↓
↑
1 456.60 m
↓
N 53.396432°
E  6.855469°		 ← 1 456.87 m →
2 121 746 m²		 N 53.396432°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519073486328125 y=0.323883056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519073486328125 × 214)
    floor (0.519073486328125 × 16384)
    floor (8504.5)     		tx = 8504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323883056640625 × 214)
    floor (0.323883056640625 × 16384)
    floor (5306.5)     		ty = 5306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8504 / 5306 ti = "14/8504/5306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8504/5306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8504 ÷ 214
    8504 ÷ 16384     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5306 ÷ 214
    5306 ÷ 16384     		y = 0.3238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3238525390625 × 2 - 1) × π
    0.352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10676713842786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10676713842786))-π/2
    2×atan(3.02456457335003)-π/2
    2×1.25148425478059-π/2
    2.50296850956119-1.57079632675     		φ = 0.93217218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93217218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.409532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8504 KachelY 5306 0.11965050 0.93217218 6.855469 53.409532
    Oben rechts KachelX + 1 8505 KachelY 5306 0.12003400 0.93217218 6.877442 53.409532
    Unten links KachelX 8504 KachelY + 1 5307 0.11965050 0.93194355 6.855469 53.396432
    Unten rechts KachelX + 1 8505 KachelY + 1 5307 0.12003400 0.93194355 6.877442 53.396432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93217218-0.93194355) × R
    0.000228630000000063 × 6371000     		dl = 1456.6017300004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93217218-0.93194355) × R
    0.000228630000000063 × 6371000     		dr = 1456.6017300004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(0.93217218) × R
    0.000383499999999995 × 0.596091310454229 × 6371000     		do = 1456.41708286962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(0.93194355) × R
    0.000383499999999995 × 0.596274865707365 × 6371000     		du = 1456.86555947317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93217218)-sin(0.93194355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596091310454229-0.596274865707365)×R²
    abs(0.12003400-0.11965050)×0.000183555253136181×R²
    0.000383499999999995×0.000183555253136181×6371000²
    0.000383499999999995×0.000183555253136181×40589641000000     		ar = 2121746.27764955m²