Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8503 / 24787
↖ ↑ ↗
← N 40.099084°
W133.291626°		 ← 467.26 m → N 40.099084°
W133.286133°		 →
↑
467.25 m
↓
↑
467.25 m
↓
N 40.094882°
W133.291626°		 ← 467.29 m →
218 333 m²		 N 40.094882°
W133.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129753112792969 y=0.378227233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129753112792969 × 216)
    floor (0.129753112792969 × 65536)
    floor (8503.5)     		tx = 8503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378227233886719 × 216)
    floor (0.378227233886719 × 65536)
    floor (24787.5)     		ty = 24787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8503 / 24787 ti = "16/8503/24787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8503/24787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8503 ÷ 216
    8503 ÷ 65536     		x = 0.129745483398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24787 ÷ 216
    24787 ÷ 65536     		y = 0.378219604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129745483398438 × 2 - 1) × π
    -0.740509033203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32637774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378219604492188 × 2 - 1) × π
    0.243560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.765168791735336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32637774} λ = -2.32637774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765168791735336))-π/2
    2×atan(2.14935713775979)-π/2
    2×1.13532868609201-π/2
    2.27065737218401-1.57079632675     		φ = 0.69986105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32637774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.291626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69986105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.099084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8503 KachelY 24787 -2.32637774 0.69986105 -133.291626 40.099084
    Oben rechts KachelX + 1 8504 KachelY 24787 -2.32628186 0.69986105 -133.286133 40.099084
    Unten links KachelX 8503 KachelY + 1 24788 -2.32637774 0.69978771 -133.291626 40.094882
    Unten rechts KachelX + 1 8504 KachelY + 1 24788 -2.32628186 0.69978771 -133.286133 40.094882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69986105-0.69978771) × R
    7.33400000000328e-05 × 6371000     		dl = 467.249140000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69986105-0.69978771) × R
    7.33400000000328e-05 × 6371000     		dr = 467.249140000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32637774--2.32628186) × cos(0.69986105) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.764931693948399 × 6371000     		do = 467.25965734698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32637774--2.32628186) × cos(0.69978771) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.764978931021697 × 6371000     		du = 467.288512183115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69986105)-sin(0.69978771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764931693948399-0.764978931021697)×R²
    abs(-2.32628186--2.32637774)×4.723707329779e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.723707329779e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.723707329779e-05×40589641000000     		ar = 218333.414348689m²