Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85014 / 97278
↖ ↑ ↗
← S 65.364547°
E 53.497925°		 ← 127.31 m → S 65.364547°
E 53.500672°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
S 65.365692°
E 53.497925°		 ← 127.31 m →
16 206 m²		 S 65.365692°
E 53.500672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648609161376953 y=0.742176055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648609161376953 × 217)
    floor (0.648609161376953 × 131072)
    floor (85014.5)     		tx = 85014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742176055908203 × 217)
    floor (0.742176055908203 × 131072)
    floor (97278.5)     		ty = 97278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85014 / 97278 ti = "17/85014/97278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85014/97278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85014 ÷ 217
    85014 ÷ 131072     		x = 0.648605346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97278 ÷ 217
    97278 ÷ 131072     		y = 0.742172241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648605346679688 × 2 - 1) × π
    0.297210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.93371493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.484344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52161306773982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93371493} λ = 0.93371493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52161306773982))-π/2
    2×atan(0.218359374252924)-π/2
    2×0.214984882020122-π/2
    0.429969764040243-1.57079632675     		φ = -1.14082656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93371493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.497925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14082656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.364547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85014 KachelY 97278 0.93371493 -1.14082656 53.497925 -65.364547
    Oben rechts KachelX + 1 85015 KachelY 97278 0.93376287 -1.14082656 53.500672 -65.364547
    Unten links KachelX 85014 KachelY + 1 97279 0.93371493 -1.14084654 53.497925 -65.365692
    Unten rechts KachelX + 1 85015 KachelY + 1 97279 0.93376287 -1.14084654 53.500672 -65.365692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14082656--1.14084654) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14082656--1.14084654) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93371493-0.93376287) × cos(-1.14082656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416843321290753 × 6371000     		do = 127.314679869203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93371493-0.93376287) × cos(-1.14084654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416825159820068 × 6371000     		du = 127.309132888579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14082656)-sin(-1.14084654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416843321290753-0.416825159820068)×R²
    abs(0.93376287-0.93371493)×1.81614706857847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81614706857847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81614706857847e-05×40589641000000     		ar = 16205.8610282477m²