Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85013 / 97271
↖ ↑ ↗
← S 65.356532°
E 53.495178°		 ← 127.35 m → S 65.356532°
E 53.497925°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
S 65.357677°
E 53.495178°		 ← 127.35 m →
16 211 m²		 S 65.357677°
E 53.497925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648601531982422 y=0.742122650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648601531982422 × 217)
    floor (0.648601531982422 × 131072)
    floor (85013.5)     		tx = 85013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742122650146484 × 217)
    floor (0.742122650146484 × 131072)
    floor (97271.5)     		ty = 97271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85013 / 97271 ti = "17/85013/97271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85013/97271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85013 ÷ 217
    85013 ÷ 131072     		x = 0.648597717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97271 ÷ 217
    97271 ÷ 131072     		y = 0.742118835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648597717285156 × 2 - 1) × π
    0.297195434570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.93366699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742118835449219 × 2 - 1) × π
    -0.484237670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.52127750944248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93366699} λ = 0.93366699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52127750944248))-π/2
    2×atan(0.218432658847696)-π/2
    2×0.215054830304152-π/2
    0.430109660608304-1.57079632675     		φ = -1.14068667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93366699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.495178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14068667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.356532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85013 KachelY 97271 0.93366699 -1.14068667 53.495178 -65.356532
    Oben rechts KachelX + 1 85014 KachelY 97271 0.93371493 -1.14068667 53.497925 -65.356532
    Unten links KachelX 85013 KachelY + 1 97272 0.93366699 -1.14070665 53.495178 -65.357677
    Unten rechts KachelX + 1 85014 KachelY + 1 97272 0.93371493 -1.14070665 53.497925 -65.357677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14068667--1.14070665) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14068667--1.14070665) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93366699-0.93371493) × cos(-1.14068667) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.416970474193436 × 6371000     		do = 127.353515638893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93366699-0.93371493) × cos(-1.14070665) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.416952313887981 × 6371000     		du = 127.34796901416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14068667)-sin(-1.14070665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416970474193436-0.416952313887981)×R²
    abs(0.93371493-0.93366699)×1.81603054554835e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.81603054554835e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.81603054554835e-05×40589641000000     		ar = 16210.804556084m²