Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8501 / 8665
↖ ↑ ↗
← S 10.336536°
E  6.789551°		 ← 2 403.56 m → S 10.336536°
E  6.811523°		 →
↑
2 403.52 m
↓
↑
2 403.52 m
↓
S 10.358152°
E  6.789551°		 ← 2 403.40 m →
5 776 822 m²		 S 10.358152°
E  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518890380859375 y=0.528900146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518890380859375 × 214)
    floor (0.518890380859375 × 16384)
    floor (8501.5)     		tx = 8501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528900146484375 × 214)
    floor (0.528900146484375 × 16384)
    floor (8665.5)     		ty = 8665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8501 / 8665 ti = "14/8501/8665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8501/8665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8501 ÷ 214
    8501 ÷ 16384     		x = 0.51885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8665 ÷ 214
    8665 ÷ 16384     		y = 0.52886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.181393228162292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11850002} λ = 0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181393228162292))-π/2
    2×atan(0.834107299718379)-π/2
    2×0.695194869414594-π/2
    1.39038973882919-1.57079632675     		φ = -0.18040659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18040659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.336536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8501 KachelY 8665 0.11850002 -0.18040659 6.789551 -10.336536
    Oben rechts KachelX + 1 8502 KachelY 8665 0.11888351 -0.18040659 6.811523 -10.336536
    Unten links KachelX 8501 KachelY + 1 8666 0.11850002 -0.18078385 6.789551 -10.358152
    Unten rechts KachelX + 1 8502 KachelY + 1 8666 0.11888351 -0.18078385 6.811523 -10.358152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18040659--0.18078385) × R
    0.00037725999999999 × 6371000     		dl = 2403.52345999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18040659--0.18078385) × R
    0.00037725999999999 × 6371000     		dr = 2403.52345999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11850002-0.11888351) × cos(-0.18040659) × R
    0.00038349 × 0.983770819833598 × 6371000     		do = 2403.56341698787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11850002-0.11888351) × cos(-0.18078385) × R
    0.00038349 × 0.983703058224352 × 6371000     		du = 2403.39786082197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18040659)-sin(-0.18078385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983770819833598-0.983703058224352)×R²
    abs(0.11888351-0.11850002)×6.7761609246153e-05×R²
    0.00038349×6.7761609246153e-05×6371000²
    0.00038349×6.7761609246153e-05×40589641000000     		ar = 5776822.16977892m²