Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8501 / 8431
↖ ↑ ↗
← N 78.921887°
W133.302613°		 ← 117.37 m → N 78.921887°
W133.297119°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
N 78.920832°
W133.302613°		 ← 117.38 m →
13 775 m²		 N 78.920832°
W133.297119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129722595214844 y=0.128654479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129722595214844 × 216)
    floor (0.129722595214844 × 65536)
    floor (8501.5)     		tx = 8501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128654479980469 × 216)
    floor (0.128654479980469 × 65536)
    floor (8431.5)     		ty = 8431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8501 / 8431 ti = "16/8501/8431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8501/8431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8501 ÷ 216
    8501 ÷ 65536     		x = 0.129714965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8431 ÷ 216
    8431 ÷ 65536     		y = 0.128646850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129714965820312 × 2 - 1) × π
    -0.740570068359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32656949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128646850585938 × 2 - 1) × π
    0.742706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33328065210661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32656949} λ = -2.32656949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33328065210661))-π/2
    2×atan(10.3117152532073)-π/2
    2×1.47412155489201-π/2
    2.94824310978402-1.57079632675     		φ = 1.37744678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32656949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.302613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37744678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.921887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8501 KachelY 8431 -2.32656949 1.37744678 -133.302613 78.921887
    Oben rechts KachelX + 1 8502 KachelY 8431 -2.32647361 1.37744678 -133.297119 78.921887
    Unten links KachelX 8501 KachelY + 1 8432 -2.32656949 1.37742836 -133.302613 78.920832
    Unten rechts KachelX + 1 8502 KachelY + 1 8432 -2.32647361 1.37742836 -133.297119 78.920832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37744678-1.37742836) × R
    1.84200000001855e-05 × 6371000     		dl = 117.353820001182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37744678-1.37742836) × R
    1.84200000001855e-05 × 6371000     		dr = 117.353820001182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32656949--2.32647361) × cos(1.37744678) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.192147098517406 × 6371000     		do = 117.373339506986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32656949--2.32647361) × cos(1.37742836) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.192165175249029 × 6371000     		du = 117.384381705252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37744678)-sin(1.37742836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192147098517406-0.192165175249029)×R²
    abs(-2.32647361--2.32656949)×1.80767316235175e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.80767316235175e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.80767316235175e-05×40589641000000     		ar = 13774.8576801785m²