Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85008 / 97282
↖ ↑ ↗
← S 65.369126°
E 53.481445°		 ← 127.29 m → S 65.369126°
E 53.484192°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
S 65.370271°
E 53.481445°		 ← 127.29 m →
16 203 m²		 S 65.370271°
E 53.484192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648563385009766 y=0.742206573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648563385009766 × 217)
    floor (0.648563385009766 × 131072)
    floor (85008.5)     		tx = 85008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742206573486328 × 217)
    floor (0.742206573486328 × 131072)
    floor (97282.5)     		ty = 97282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85008 / 97282 ti = "17/85008/97282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85008/97282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85008 ÷ 217
    85008 ÷ 131072     		x = 0.6485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97282 ÷ 217
    97282 ÷ 131072     		y = 0.742202758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6485595703125 × 2 - 1) × π
    0.297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93342731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742202758789062 × 2 - 1) × π
    -0.484405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5218048153383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93342731} λ = 0.93342731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5218048153383))-π/2
    2×atan(0.218317508381274)-π/2
    2×0.214944921150084-π/2
    0.429889842300167-1.57079632675     		φ = -1.14090648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93342731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.481445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14090648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.369126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85008 KachelY 97282 0.93342731 -1.14090648 53.481445 -65.369126
    Oben rechts KachelX + 1 85009 KachelY 97282 0.93347525 -1.14090648 53.484192 -65.369126
    Unten links KachelX 85008 KachelY + 1 97283 0.93342731 -1.14092646 53.481445 -65.370271
    Unten rechts KachelX + 1 85009 KachelY + 1 97283 0.93347525 -1.14092646 53.484192 -65.370271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14090648--1.14092646) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14090648--1.14092646) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93342731-0.93347525) × cos(-1.14090648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416770674409659 × 6371000     		do = 127.292491641786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93342731-0.93347525) × cos(-1.14092646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416752512273429 × 6371000     		du = 127.286944457888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14090648)-sin(-1.14092646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416770674409659-0.416752512273429)×R²
    abs(0.93347525-0.93342731)×1.81621362293494e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81621362293494e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81621362293494e-05×40589641000000     		ar = 16203.0366185216m²