Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85006 / 97282
↖ ↑ ↗
← S 65.369126°
E 53.475952°		 ← 127.27 m → S 65.369126°
E 53.478699°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
S 65.370271°
E 53.475952°		 ← 127.26 m →
16 200 m²		 S 65.370271°
E 53.478699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648548126220703 y=0.742206573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648548126220703 × 217)
    floor (0.648548126220703 × 131072)
    floor (85006.5)     		tx = 85006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742206573486328 × 217)
    floor (0.742206573486328 × 131072)
    floor (97282.5)     		ty = 97282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85006 / 97282 ti = "17/85006/97282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85006/97282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85006 ÷ 217
    85006 ÷ 131072     		x = 0.648544311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97282 ÷ 217
    97282 ÷ 131072     		y = 0.742202758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648544311523438 × 2 - 1) × π
    0.297088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93333144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742202758789062 × 2 - 1) × π
    -0.484405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5218048153383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93333144} λ = 0.93333144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5218048153383))-π/2
    2×atan(0.218317508381274)-π/2
    2×0.214944921150084-π/2
    0.429889842300167-1.57079632675     		φ = -1.14090648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93333144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14090648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.369126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85006 KachelY 97282 0.93333144 -1.14090648 53.475952 -65.369126
    Oben rechts KachelX + 1 85007 KachelY 97282 0.93337937 -1.14090648 53.478699 -65.369126
    Unten links KachelX 85006 KachelY + 1 97283 0.93333144 -1.14092646 53.475952 -65.370271
    Unten rechts KachelX + 1 85007 KachelY + 1 97283 0.93337937 -1.14092646 53.478699 -65.370271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14090648--1.14092646) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14090648--1.14092646) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93333144-0.93337937) × cos(-1.14090648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416770674409659 × 6371000     		do = 127.26593918228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93333144-0.93337937) × cos(-1.14092646) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416752512273429 × 6371000     		du = 127.260393155492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14090648)-sin(-1.14092646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416770674409659-0.416752512273429)×R²
    abs(0.93337937-0.93333144)×1.81621362293494e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81621362293494e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81621362293494e-05×40589641000000     		ar = 16199.6567610915m²