Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 850 / 790
↖ ↑ ↗
← S 69.411243°
E118.828125°		 ← 13.747 km → S 69.411243°
E119.179688°		 →
↑
13.708 km
↓
↑
13.708 km
↓
S 69.534518°
E118.828125°		 ← 13.668 km →
187.898 km²		 S 69.534518°
E119.179688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83056640625 y=0.77197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83056640625 × 210)
    floor (0.83056640625 × 1024)
    floor (850.5)     		tx = 850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77197265625 × 210)
    floor (0.77197265625 × 1024)
    floor (790.5)     		ty = 790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 850 / 790 ti = "10/850/790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/850/790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 850 ÷ 210
    850 ÷ 1024     		x = 0.830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 790 ÷ 210
    790 ÷ 1024     		y = 0.771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830078125 × 2 - 1) × π
    0.66015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07394203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07394203} λ = 2.07394203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70578663608008))-π/2
    2×atan(0.181629453683338)-π/2
    2×0.179670804891561-π/2
    0.359341609783121-1.57079632675     		φ = -1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07394203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 850 KachelY 790 2.07394203 -1.21145472 118.828125 -69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 851 KachelY 790 2.08007795 -1.21145472 119.179688 -69.411243
    Unten links KachelX 850 KachelY + 1 791 2.07394203 -1.21360628 118.828125 -69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 851 KachelY + 1 791 2.08007795 -1.21360628 119.179688 -69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21145472--1.21360628) × R
    0.00215155999999994 × 6371000     		dl = 13707.5887599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21145472--1.21360628) × R
    0.00215155999999994 × 6371000     		dr = 13707.5887599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07394203-2.08007795) × cos(-1.21145472) × R
    0.00613592000000018 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 13746.9944415984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07394203-2.08007795) × cos(-1.21360628) × R
    0.00613592000000018 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 13668.2261575679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21145472)-sin(-1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.349643019707478)×R²
    abs(2.08007795-2.07394203)×0.00201494915054312×R²
    0.00613592000000018×0.00201494915054312×6371000²
    0.00613592000000018×0.00201494915054312×40589641000000     		ar = 187898357.354134m²