Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 85 / 37
↖ ↑ ↗
← N 82.214217°
W120.234375°		 ← 10.592 km → N 82.214217°
W119.531250°		 →
↑
10.656 km
↓
↑
10.656 km
↓
N 82.118384°
W120.234375°		 ← 10.721 km →
113.556 km²		 N 82.118384°
W119.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1669921875 y=0.0732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1669921875 × 29)
    floor (0.1669921875 × 512)
    floor (85.5)     		tx = 85
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0732421875 × 29)
    floor (0.0732421875 × 512)
    floor (37.5)     		ty = 37
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 85 / 37 ti = "9/85/37"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/85/37.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85 ÷ 29
    85 ÷ 512     		x = 0.166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37 ÷ 29
    37 ÷ 512     		y = 0.072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.166015625 × 2 - 1) × π
    -0.66796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09848572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.072265625 × 2 - 1) × π
    0.85546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.68753434029883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09848572} λ = -2.09848572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68753434029883))-π/2
    2×atan(14.6953973644611)-π/2
    2×1.50285255392284-π/2
    3.00570510784568-1.57079632675     		φ = 1.43490878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09848572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43490878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.214217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85 KachelY 37 -2.09848572 1.43490878 -120.234375 82.214217
    Oben rechts KachelX + 1 86 KachelY 37 -2.08621387 1.43490878 -119.531250 82.214217
    Unten links KachelX 85 KachelY + 1 38 -2.09848572 1.43323617 -120.234375 82.118384
    Unten rechts KachelX + 1 86 KachelY + 1 38 -2.08621387 1.43323617 -119.531250 82.118384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43490878-1.43323617) × R
    0.00167260999999996 × 6371000     		dl = 10656.1983099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43490878-1.43323617) × R
    0.00167260999999996 × 6371000     		dr = 10656.1983099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09848572--2.08621387) × cos(1.43490878) × R
    0.0122718500000003 × 0.135469729181416 × 6371000     		do = 10591.5593930664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09848572--2.08621387) × cos(1.43323617) × R
    0.0122718500000003 × 0.137126729932919 × 6371000     		du = 10721.1102674938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43490878)-sin(1.43323617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135469729181416-0.137126729932919)×R²
    abs(-2.08621387--2.09848572)×0.00165700075150288×R²
    0.0122718500000003×0.00165700075150288×6371000²
    0.0122718500000003×0.00165700075150288×40589641000000     		ar = 113556043.683153m²