Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 84986 / 97273
↖ ↑ ↗
← S 65.358822°
E 53.421021°		 ← 127.32 m → S 65.358822°
E 53.423767°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
S 65.359967°
E 53.421021°		 ← 127.31 m →
16 214 m²		 S 65.359967°
E 53.423767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648395538330078 y=0.742137908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648395538330078 × 217)
    floor (0.648395538330078 × 131072)
    floor (84986.5)     		tx = 84986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742137908935547 × 217)
    floor (0.742137908935547 × 131072)
    floor (97273.5)     		ty = 97273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84986 / 97273 ti = "17/84986/97273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84986/97273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84986 ÷ 217
    84986 ÷ 131072     		x = 0.648391723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97273 ÷ 217
    97273 ÷ 131072     		y = 0.742134094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648391723632812 × 2 - 1) × π
    0.296783447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93237270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742134094238281 × 2 - 1) × π
    -0.484268188476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.52137338324172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93237270} λ = 0.93237270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52137338324172))-π/2
    2×atan(0.218411717882675)-π/2
    2×0.215034842903105-π/2
    0.43006968580621-1.57079632675     		φ = -1.14072664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93237270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.421021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14072664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.358822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84986 KachelY 97273 0.93237270 -1.14072664 53.421021 -65.358822
    Oben rechts KachelX + 1 84987 KachelY 97273 0.93242063 -1.14072664 53.423767 -65.358822
    Unten links KachelX 84986 KachelY + 1 97274 0.93237270 -1.14074663 53.421021 -65.359967
    Unten rechts KachelX + 1 84987 KachelY + 1 97274 0.93242063 -1.14074663 53.423767 -65.359967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14072664--1.14074663) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14072664--1.14074663) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93237270-0.93242063) × cos(-1.14072664) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.416934144326711 × 6371000     		do = 127.3158566877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93237270-0.93242063) × cos(-1.14074663) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.416915974598834 × 6371000     		du = 127.310308342711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14072664)-sin(-1.14074663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416934144326711-0.416915974598834)×R²
    abs(0.93242063-0.93237270)×1.81697278767712e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.81697278767712e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.81697278767712e-05×40589641000000     		ar = 16214.1218581038m²