Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84982 / 97281
↖ ↑ ↗
← S 65.367982°
E 53.410034°		 ← 127.30 m → S 65.367982°
E 53.412781°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
S 65.369126°
E 53.410034°		 ← 127.29 m →
16 196 m²		 S 65.369126°
E 53.412781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648365020751953 y=0.742198944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648365020751953 × 217)
    floor (0.648365020751953 × 131072)
    floor (84982.5)     		tx = 84982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742198944091797 × 217)
    floor (0.742198944091797 × 131072)
    floor (97281.5)     		ty = 97281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84982 / 97281 ti = "17/84982/97281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84982/97281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84982 ÷ 217
    84982 ÷ 131072     		x = 0.648361206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97281 ÷ 217
    97281 ÷ 131072     		y = 0.742195129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648361206054688 × 2 - 1) × π
    0.296722412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.93218095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742195129394531 × 2 - 1) × π
    -0.484390258789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52175687843868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93218095} λ = 0.93218095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52175687843868))-π/2
    2×atan(0.218327974096603)-π/2
    2×0.214954910714624-π/2
    0.429909821429248-1.57079632675     		φ = -1.14088651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93218095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.410034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14088651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.367982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84982 KachelY 97281 0.93218095 -1.14088651 53.410034 -65.367982
    Oben rechts KachelX + 1 84983 KachelY 97281 0.93222889 -1.14088651 53.412781 -65.367982
    Unten links KachelX 84982 KachelY + 1 97282 0.93218095 -1.14090648 53.410034 -65.369126
    Unten rechts KachelX + 1 84983 KachelY + 1 97282 0.93222889 -1.14090648 53.412781 -65.369126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14088651--1.14090648) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14088651--1.14090648) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93218095-0.93222889) × cos(-1.14088651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41678882728948 × 6371000     		do = 127.298035998538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93218095-0.93222889) × cos(-1.14090648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416770674409659 × 6371000     		du = 127.292491641786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14088651)-sin(-1.14090648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41678882728948-0.416770674409659)×R²
    abs(0.93222889-0.93218095)×1.81528798208208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81528798208208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81528798208208e-05×40589641000000     		ar = 16195.6325726166m²