Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8498 / 8432
↖ ↑ ↗
← N 78.920832°
W133.319092°		 ← 117.38 m → N 78.920832°
W133.313598°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
N 78.919776°
W133.319092°		 ← 117.40 m →
13 776 m²		 N 78.919776°
W133.313598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129676818847656 y=0.128669738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129676818847656 × 216)
    floor (0.129676818847656 × 65536)
    floor (8498.5)     		tx = 8498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128669738769531 × 216)
    floor (0.128669738769531 × 65536)
    floor (8432.5)     		ty = 8432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8498 / 8432 ti = "16/8498/8432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8498/8432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8498 ÷ 216
    8498 ÷ 65536     		x = 0.129669189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8432 ÷ 216
    8432 ÷ 65536     		y = 0.128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.74066162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32685711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    0.74267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33318477830737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32685711} λ = -2.32685711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33318477830737))-π/2
    2×atan(10.3107266772793)-π/2
    2×1.47411234352265-π/2
    2.94822468704529-1.57079632675     		φ = 1.37742836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32685711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.319092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37742836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.920832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8498 KachelY 8432 -2.32685711 1.37742836 -133.319092 78.920832
    Oben rechts KachelX + 1 8499 KachelY 8432 -2.32676123 1.37742836 -133.313598 78.920832
    Unten links KachelX 8498 KachelY + 1 8433 -2.32685711 1.37740994 -133.319092 78.919776
    Unten rechts KachelX + 1 8499 KachelY + 1 8433 -2.32676123 1.37740994 -133.313598 78.919776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37742836-1.37740994) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37742836-1.37740994) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32685711--2.32676123) × cos(1.37742836) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.192165175249029 × 6371000     		do = 117.384381705796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32685711--2.32676123) × cos(1.37740994) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.192183251915452 × 6371000     		du = 117.395423864233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37742836)-sin(1.37740994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192165175249029-0.192183251915452)×R²
    abs(-2.32676123--2.32685711)×1.80766664223675e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.80766664223675e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.80766664223675e-05×40589641000000     		ar = 13776.1535214827m²