Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8498 / 6000
↖ ↑ ↗
← N 43.325178°
E  6.723633°		 ← 1 777.42 m → N 43.325178°
E  6.745606°		 →
↑
1 777.64 m
↓
↑
1 777.64 m
↓
N 43.309191°
E  6.723633°		 ← 1 777.88 m →
3 160 013 m²		 N 43.309191°
E  6.745606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518707275390625 y=0.366241455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518707275390625 × 214)
    floor (0.518707275390625 × 16384)
    floor (8498.5)     		tx = 8498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366241455078125 × 214)
    floor (0.366241455078125 × 16384)
    floor (6000.5)     		ty = 6000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8498 / 6000 ti = "14/8498/6000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8498/6000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8498 ÷ 214
    8498 ÷ 16384     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6000 ÷ 214
    6000 ÷ 16384     		y = 0.3662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3662109375 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.840621471737305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840621471737305))-π/2
    2×atan(2.31780698080494)-π/2
    2×1.16348166315243-π/2
    2.32696332630485-1.57079632675     		φ = 0.75616700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75616700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.325178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8498 KachelY 6000 0.11734953 0.75616700 6.723633 43.325178
    Oben rechts KachelX + 1 8499 KachelY 6000 0.11773303 0.75616700 6.745606 43.325178
    Unten links KachelX 8498 KachelY + 1 6001 0.11734953 0.75588798 6.723633 43.309191
    Unten rechts KachelX + 1 8499 KachelY + 1 6001 0.11773303 0.75588798 6.745606 43.309191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75616700-0.75588798) × R
    0.000279020000000019 × 6371000     		dl = 1777.63642000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75616700-0.75588798) × R
    0.000279020000000019 × 6371000     		dr = 1777.63642000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11773303) × cos(0.75616700) × R
    0.000383500000000009 × 0.727471315575443 × 6371000     		do = 1777.41502471224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11773303) × cos(0.75588798) × R
    0.000383500000000009 × 0.727662733506539 × 6371000     		du = 1777.8827120278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75616700)-sin(0.75588798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727471315575443-0.727662733506539)×R²
    abs(0.11773303-0.11734953)×0.000191417931095783×R²
    0.000383500000000009×0.000191417931095783×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191417931095783×40589641000000     		ar = 3160013.3908869m²