Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84978 / 97331
↖ ↑ ↗
← S 65.425157°
E 53.399048°		 ← 127.02 m → S 65.425157°
E 53.401794°		 →
↑
126.97 m
↓
↑
126.97 m
↓
S 65.426299°
E 53.399048°		 ← 127.02 m →
16 128 m²		 S 65.426299°
E 53.401794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648334503173828 y=0.742580413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648334503173828 × 217)
    floor (0.648334503173828 × 131072)
    floor (84978.5)     		tx = 84978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742580413818359 × 217)
    floor (0.742580413818359 × 131072)
    floor (97331.5)     		ty = 97331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84978 / 97331 ti = "17/84978/97331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84978/97331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84978 ÷ 217
    84978 ÷ 131072     		x = 0.648330688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97331 ÷ 217
    97331 ÷ 131072     		y = 0.742576599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648330688476562 × 2 - 1) × π
    0.296661376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93198920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742576599121094 × 2 - 1) × π
    -0.485153198242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52415372341969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93198920} λ = 0.93198920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52415372341969))-π/2
    2×atan(0.217805302419394)-π/2
    2×0.214455965421532-π/2
    0.428911930843063-1.57079632675     		φ = -1.14188440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93198920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.399048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14188440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.425157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84978 KachelY 97331 0.93198920 -1.14188440 53.399048 -65.425157
    Oben rechts KachelX + 1 84979 KachelY 97331 0.93203714 -1.14188440 53.401794 -65.425157
    Unten links KachelX 84978 KachelY + 1 97332 0.93198920 -1.14190433 53.399048 -65.426299
    Unten rechts KachelX + 1 84979 KachelY + 1 97332 0.93203714 -1.14190433 53.401794 -65.426299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14188440--1.14190433) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dl = 126.974030000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14188440--1.14190433) × R
    1.99300000001124e-05 × 6371000     		dr = 126.974030000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93198920-0.93203714) × cos(-1.14188440) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.415881534580449 × 6371000     		do = 127.02092545178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93198920-0.93203714) × cos(-1.14190433) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.415863409781221 × 6371000     		du = 127.015389671564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14188440)-sin(-1.14190433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415881534580449-0.415863409781221)×R²
    abs(0.93203714-0.93198920)×1.81247992276368e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.81247992276368e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.81247992276368e-05×40589641000000     		ar = 16128.0073493452m²