Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84973 / 97285
↖ ↑ ↗
← S 65.372560°
E 53.385315°		 ← 127.25 m → S 65.372560°
E 53.388061°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
S 65.373705°
E 53.385315°		 ← 127.24 m →
16 189 m²		 S 65.373705°
E 53.388061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648296356201172 y=0.742229461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648296356201172 × 217)
    floor (0.648296356201172 × 131072)
    floor (84973.5)     		tx = 84973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742229461669922 × 217)
    floor (0.742229461669922 × 131072)
    floor (97285.5)     		ty = 97285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84973 / 97285 ti = "17/84973/97285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84973/97285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84973 ÷ 217
    84973 ÷ 131072     		x = 0.648292541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97285 ÷ 217
    97285 ÷ 131072     		y = 0.742225646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648292541503906 × 2 - 1) × π
    0.296585083007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.93174952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742225646972656 × 2 - 1) × π
    -0.484451293945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.52194862603716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93174952} λ = 0.93174952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52194862603716))-π/2
    2×atan(0.218286114245281)-π/2
    2×0.214914955068129-π/2
    0.429829910136259-1.57079632675     		φ = -1.14096642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93174952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.385315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14096642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.372560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84973 KachelY 97285 0.93174952 -1.14096642 53.385315 -65.372560
    Oben rechts KachelX + 1 84974 KachelY 97285 0.93179745 -1.14096642 53.388061 -65.372560
    Unten links KachelX 84973 KachelY + 1 97286 0.93174952 -1.14098639 53.385315 -65.373705
    Unten rechts KachelX + 1 84974 KachelY + 1 97286 0.93179745 -1.14098639 53.388061 -65.373705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14096642--1.14098639) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14096642--1.14098639) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93174952-0.93179745) × cos(-1.14096642) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416716187501875 × 6371000     		do = 127.249300949511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93174952-0.93179745) × cos(-1.14098639) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416698033957014 × 6371000     		du = 127.2437575462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14096642)-sin(-1.14098639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416716187501875-0.416698033957014)×R²
    abs(0.93179745-0.93174952)×1.81535448611214e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81535448611214e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81535448611214e-05×40589641000000     		ar = 16189.4321280944m²