Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84972 / 97286
↖ ↑ ↗
← S 65.373705°
E 53.382568°		 ← 127.27 m → S 65.373705°
E 53.385315°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
S 65.374849°
E 53.382568°		 ← 127.26 m →
16 200 m²		 S 65.374849°
E 53.385315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648288726806641 y=0.742237091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648288726806641 × 217)
    floor (0.648288726806641 × 131072)
    floor (84972.5)     		tx = 84972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742237091064453 × 217)
    floor (0.742237091064453 × 131072)
    floor (97286.5)     		ty = 97286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84972 / 97286 ti = "17/84972/97286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84972/97286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84972 ÷ 217
    84972 ÷ 131072     		x = 0.648284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97286 ÷ 217
    97286 ÷ 131072     		y = 0.742233276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648284912109375 × 2 - 1) × π
    0.29656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93170158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742233276367188 × 2 - 1) × π
    -0.484466552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52199656293678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93170158} λ = 0.93170158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52199656293678))-π/2
    2×atan(0.218275650536534)-π/2
    2×0.21490496724465-π/2
    0.429809934489301-1.57079632675     		φ = -1.14098639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93170158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14098639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.373705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84972 KachelY 97286 0.93170158 -1.14098639 53.382568 -65.373705
    Oben rechts KachelX + 1 84973 KachelY 97286 0.93174952 -1.14098639 53.385315 -65.373705
    Unten links KachelX 84972 KachelY + 1 97287 0.93170158 -1.14100637 53.382568 -65.374849
    Unten rechts KachelX + 1 84973 KachelY + 1 97287 0.93174952 -1.14100637 53.385315 -65.374849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14098639--1.14100637) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14098639--1.14100637) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93170158-0.93174952) × cos(-1.14098639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416698033957014 × 6371000     		do = 127.270305377783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93170158-0.93174952) × cos(-1.14100637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41667987115544 × 6371000     		du = 127.264757990671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14098639)-sin(-1.14100637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416698033957014-0.41667987115544)×R²
    abs(0.93174952-0.93170158)×1.81628015736846e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81628015736846e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81628015736846e-05×40589641000000     		ar = 16200.2124589637m²