Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8497 / 8687
↖ ↑ ↗
← S 10.811724°
E  6.701660°		 ← 2 399.85 m → S 10.811724°
E  6.723633°		 →
↑
2 399.83 m
↓
↑
2 399.83 m
↓
S 10.833306°
E  6.701660°		 ← 2 399.67 m →
5 759 009 m²		 S 10.833306°
E  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518646240234375 y=0.530242919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518646240234375 × 214)
    floor (0.518646240234375 × 16384)
    floor (8497.5)     		tx = 8497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530242919921875 × 214)
    floor (0.530242919921875 × 16384)
    floor (8687.5)     		ty = 8687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8497 / 8687 ti = "14/8497/8687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8497/8687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8497 ÷ 214
    8497 ÷ 16384     		x = 0.51861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8687 ÷ 214
    8687 ÷ 16384     		y = 0.53021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51861572265625 × 2 - 1) × π
    0.0372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11696604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.189830122495422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11696604} λ = 0.11696604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189830122495422))-π/2
    2×atan(0.827099627630445)-π/2
    2×0.691048071341352-π/2
    1.3820961426827-1.57079632675     		φ = -0.18870018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11696604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18870018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.811724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8497 KachelY 8687 0.11696604 -0.18870018 6.701660 -10.811724
    Oben rechts KachelX + 1 8498 KachelY 8687 0.11734953 -0.18870018 6.723633 -10.811724
    Unten links KachelX 8497 KachelY + 1 8688 0.11696604 -0.18907686 6.701660 -10.833306
    Unten rechts KachelX + 1 8498 KachelY + 1 8688 0.11734953 -0.18907686 6.723633 -10.833306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18870018--0.18907686) × R
    0.000376680000000018 × 6371000     		dl = 2399.82828000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18870018--0.18907686) × R
    0.000376680000000018 × 6371000     		dr = 2399.82828000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11696604-0.11734953) × cos(-0.18870018) × R
    0.00038349 × 0.982248888053325 × 6371000     		do = 2399.84501075294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11696604-0.11734953) × cos(-0.18907686) × R
    0.00038349 × 0.982178159866999 × 6371000     		du = 2399.67220660204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18870018)-sin(-0.18907686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982248888053325-0.982178159866999)×R²
    abs(0.11734953-0.11696604)×7.0728186325586e-05×R²
    0.00038349×7.0728186325586e-05×6371000²
    0.00038349×7.0728186325586e-05×40589641000000     		ar = 5759008.64237214m²