Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8497 / 8433
↖ ↑ ↗
← N 78.919776°
W133.324585°		 ← 117.38 m → N 78.919776°
W133.319092°		 →
↑
117.42 m
↓
↑
117.42 m
↓
N 78.918720°
W133.324585°		 ← 117.39 m →
13 783 m²		 N 78.918720°
W133.319092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129661560058594 y=0.128684997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129661560058594 × 216)
    floor (0.129661560058594 × 65536)
    floor (8497.5)     		tx = 8497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128684997558594 × 216)
    floor (0.128684997558594 × 65536)
    floor (8433.5)     		ty = 8433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8497 / 8433 ti = "16/8497/8433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8497/8433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8497 ÷ 216
    8497 ÷ 65536     		x = 0.129653930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8433 ÷ 216
    8433 ÷ 65536     		y = 0.128677368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129653930664062 × 2 - 1) × π
    -0.740692138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32695298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128677368164062 × 2 - 1) × π
    0.742645263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33308890450813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32695298} λ = -2.32695298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33308890450813))-π/2
    2×atan(10.3097381961253)-π/2
    2×1.47410313128657-π/2
    2.94820626257315-1.57079632675     		φ = 1.37740994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32695298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.324585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37740994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.919776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8497 KachelY 8433 -2.32695298 1.37740994 -133.324585 78.919776
    Oben rechts KachelX + 1 8498 KachelY 8433 -2.32685711 1.37740994 -133.319092 78.919776
    Unten links KachelX 8497 KachelY + 1 8434 -2.32695298 1.37739151 -133.324585 78.918720
    Unten rechts KachelX + 1 8498 KachelY + 1 8434 -2.32685711 1.37739151 -133.319092 78.918720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37740994-1.37739151) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dl = 117.41752999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37740994-1.37739151) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dr = 117.41752999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32695298--2.32685711) × cos(1.37740994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192183251915452 × 6371000     		do = 117.383179868784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32695298--2.32685711) × cos(1.37739151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192201338330222 × 6371000     		du = 117.394226829729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37740994)-sin(1.37739151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192183251915452-0.192201338330222)×R²
    abs(-2.32685711--2.32695298)×1.80864147703574e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80864147703574e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80864147703574e-05×40589641000000     		ar = 13783.4915975899m²