Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84965 / 97288
↖ ↑ ↗
← S 65.375994°
E 53.363342°		 ← 127.26 m → S 65.375994°
E 53.366089°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
S 65.377138°
E 53.363342°		 ← 127.25 m →
16 191 m²		 S 65.377138°
E 53.366089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648235321044922 y=0.742252349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648235321044922 × 217)
    floor (0.648235321044922 × 131072)
    floor (84965.5)     		tx = 84965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742252349853516 × 217)
    floor (0.742252349853516 × 131072)
    floor (97288.5)     		ty = 97288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84965 / 97288 ti = "17/84965/97288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84965/97288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84965 ÷ 217
    84965 ÷ 131072     		x = 0.648231506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97288 ÷ 217
    97288 ÷ 131072     		y = 0.74224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648231506347656 × 2 - 1) × π
    0.296463012695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.93136602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.4844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52209243673602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93136602} λ = 0.93136602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52209243673602))-π/2
    2×atan(0.218254724623775)-π/2
    2×0.214884992903361-π/2
    0.429769985806722-1.57079632675     		φ = -1.14102634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93136602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.363342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14102634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.375994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84965 KachelY 97288 0.93136602 -1.14102634 53.363342 -65.375994
    Oben rechts KachelX + 1 84966 KachelY 97288 0.93141396 -1.14102634 53.366089 -65.375994
    Unten links KachelX 84965 KachelY + 1 97289 0.93136602 -1.14104631 53.363342 -65.377138
    Unten rechts KachelX + 1 84966 KachelY + 1 97289 0.93141396 -1.14104631 53.366089 -65.377138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14102634--1.14104631) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14102634--1.14104631) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93136602-0.93141396) × cos(-1.14102634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416661717278144 × 6371000     		do = 127.259213329264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93136602-0.93141396) × cos(-1.14104631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416643563234682 × 6371000     		du = 127.253668617106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14102634)-sin(-1.14104631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416661717278144-0.416643563234682)×R²
    abs(0.93141396-0.93136602)×1.81540434612271e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81540434612271e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81540434612271e-05×40589641000000     		ar = 16190.6931855545m²