Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84961 / 97310
↖ ↑ ↗
← S 65.401158°
E 53.352356°		 ← 127.11 m → S 65.401158°
E 53.355102°		 →
↑
127.10 m
↓
↑
127.10 m
↓
S 65.402302°
E 53.352356°		 ← 127.11 m →
16 156 m²		 S 65.402302°
E 53.355102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648204803466797 y=0.742420196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648204803466797 × 217)
    floor (0.648204803466797 × 131072)
    floor (84961.5)     		tx = 84961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742420196533203 × 217)
    floor (0.742420196533203 × 131072)
    floor (97310.5)     		ty = 97310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84961 / 97310 ti = "17/84961/97310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84961/97310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84961 ÷ 217
    84961 ÷ 131072     		x = 0.648200988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97310 ÷ 217
    97310 ÷ 131072     		y = 0.742416381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648200988769531 × 2 - 1) × π
    0.296401977539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.93117428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742416381835938 × 2 - 1) × π
    -0.484832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52314704852766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93117428} λ = 0.93117428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52314704852766))-π/2
    2×atan(0.218024671947061)-π/2
    2×0.21466539001506-π/2
    0.42933078003012-1.57079632675     		φ = -1.14146555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93117428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.352356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14146555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.401158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84961 KachelY 97310 0.93117428 -1.14146555 53.352356 -65.401158
    Oben rechts KachelX + 1 84962 KachelY 97310 0.93122221 -1.14146555 53.355102 -65.401158
    Unten links KachelX 84961 KachelY + 1 97311 0.93117428 -1.14148550 53.352356 -65.402302
    Unten rechts KachelX + 1 84962 KachelY + 1 97311 0.93122221 -1.14148550 53.355102 -65.402302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14146555--1.14148550) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dl = 127.101449999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14146555--1.14148550) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dr = 127.101449999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93117428-0.93122221) × cos(-1.14146555) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416262408152477 × 6371000     		do = 127.110733966207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93117428-0.93122221) × cos(-1.14148550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416244268641354 × 6371000     		du = 127.105194848267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14146555)-sin(-1.14148550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416262408152477-0.416244268641354)×R²
    abs(0.93122221-0.93117428)×1.8139511123727e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8139511123727e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8139511123727e-05×40589641000000     		ar = 16155.6065831675m²