Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8496 / 5968
↖ ↑ ↗
← N 43.834527°
E  6.679688°		 ← 1 762.44 m → N 43.834527°
E  6.701660°		 →
↑
1 762.66 m
↓
↑
1 762.66 m
↓
N 43.818675°
E  6.679688°		 ← 1 762.91 m →
3 107 006 m²		 N 43.818675°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518585205078125 y=0.364288330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518585205078125 × 214)
    floor (0.518585205078125 × 16384)
    floor (8496.5)     		tx = 8496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364288330078125 × 214)
    floor (0.364288330078125 × 16384)
    floor (5968.5)     		ty = 5968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8496 / 5968 ti = "14/8496/5968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8496/5968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8496 ÷ 214
    8496 ÷ 16384     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5968 ÷ 214
    5968 ÷ 16384     		y = 0.3642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852893318040039))-π/2
    2×atan(2.34642599675182)-π/2
    2×1.16792657259049-π/2
    2.33585314518098-1.57079632675     		φ = 0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8496 KachelY 5968 0.11658254 0.76505682 6.679688 43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 8497 KachelY 5968 0.11696604 0.76505682 6.701660 43.834527
    Unten links KachelX 8496 KachelY + 1 5969 0.11658254 0.76478015 6.679688 43.818675
    Unten rechts KachelX + 1 8497 KachelY + 1 5969 0.11696604 0.76478015 6.701660 43.818675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76505682-0.76478015) × R
    0.000276669999999979 × 6371000     		dl = 1762.66456999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76505682-0.76478015) × R
    0.000276669999999979 × 6371000     		dr = 1762.66456999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11696604) × cos(0.76505682) × R
    0.000383499999999995 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 1762.44185846669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11696604) × cos(0.76478015) × R
    0.000383499999999995 × 0.721534594260858 × 6371000     		du = 1762.90996116376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76505682)-sin(0.76478015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.721534594260858)×R²
    abs(0.11696604-0.11658254)×0.000191587940985283×R²
    0.000383499999999995×0.000191587940985283×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191587940985283×40589641000000     		ar = 3107006.39444321m²