Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8496 / 5358
↖ ↑ ↗
← N 76.232138°
W 86.660156°		 ← 290.74 m → N 76.232138°
W 86.649170°		 →
↑
290.77 m
↓
↑
290.77 m
↓
N 76.229523°
W 86.660156°		 ← 290.79 m →
84 546 m²		 N 76.229523°
W 86.649170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259292602539062 y=0.163528442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259292602539062 × 215)
    floor (0.259292602539062 × 32768)
    floor (8496.5)     		tx = 8496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163528442382812 × 215)
    floor (0.163528442382812 × 32768)
    floor (5358.5)     		ty = 5358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8496 / 5358 ti = "15/8496/5358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8496/5358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8496 ÷ 215
    8496 ÷ 32768     		x = 0.25927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5358 ÷ 215
    5358 ÷ 32768     		y = 0.16351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51250506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16351318359375 × 2 - 1) × π
    0.6729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11420902084296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51250506} λ = -1.51250506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11420902084296))-π/2
    2×atan(8.28303146905561)-π/2
    2×1.45064906207971-π/2
    2.90129812415942-1.57079632675     		φ = 1.33050180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51250506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33050180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.232138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8496 KachelY 5358 -1.51250506 1.33050180 -86.660156 76.232138
    Oben rechts KachelX + 1 8497 KachelY 5358 -1.51231331 1.33050180 -86.649170 76.232138
    Unten links KachelX 8496 KachelY + 1 5359 -1.51250506 1.33045616 -86.660156 76.229523
    Unten rechts KachelX + 1 8497 KachelY + 1 5359 -1.51231331 1.33045616 -86.649170 76.229523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33050180-1.33045616) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dl = 290.772439999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33050180-1.33045616) × R
    4.56399999999579e-05 × 6371000     		dr = 290.772439999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51250506--1.51231331) × cos(1.33050180) × R
    0.000191750000000157 × 0.237988701173613 × 6371000     		do = 290.736338410445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51250506--1.51231331) × cos(1.33045616) × R
    0.000191750000000157 × 0.238033029593734 × 6371000     		du = 290.790491748355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33050180)-sin(1.33045616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237988701173613-0.238033029593734)×R²
    abs(-1.51231331--1.51250506)×4.43284201207261e-05×R²
    0.000191750000000157×4.43284201207261e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.43284201207261e-05×40589641000000     		ar = 84545.9876801992m²