Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84958 / 97315
↖ ↑ ↗
← S 65.406874°
E 53.344116°		 ← 127.11 m → S 65.406874°
E 53.346863°		 →
↑
127.10 m
↓
↑
127.10 m
↓
S 65.408017°
E 53.344116°		 ← 127.10 m →
16 155 m²		 S 65.408017°
E 53.346863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648181915283203 y=0.742458343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648181915283203 × 217)
    floor (0.648181915283203 × 131072)
    floor (84958.5)     		tx = 84958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742458343505859 × 217)
    floor (0.742458343505859 × 131072)
    floor (97315.5)     		ty = 97315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84958 / 97315 ti = "17/84958/97315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84958/97315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84958 ÷ 217
    84958 ÷ 131072     		x = 0.648178100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97315 ÷ 217
    97315 ÷ 131072     		y = 0.742454528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648178100585938 × 2 - 1) × π
    0.296356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93103046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742454528808594 × 2 - 1) × π
    -0.484909057617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52338673302576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93103046} λ = 0.93103046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52338673302576))-π/2
    2×atan(0.217972421075104)-π/2
    2×0.214615509627062-π/2
    0.429231019254123-1.57079632675     		φ = -1.14156531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93103046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14156531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.406874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84958 KachelY 97315 0.93103046 -1.14156531 53.344116 -65.406874
    Oben rechts KachelX + 1 84959 KachelY 97315 0.93107840 -1.14156531 53.346863 -65.406874
    Unten links KachelX 84958 KachelY + 1 97316 0.93103046 -1.14158526 53.344116 -65.408017
    Unten rechts KachelX + 1 84959 KachelY + 1 97316 0.93107840 -1.14158526 53.346863 -65.408017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14156531--1.14158526) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dl = 127.101449999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14156531--1.14158526) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dr = 127.101449999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93103046-0.93107840) × cos(-1.14156531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416171699847408 × 6371000     		do = 127.109549392869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93103046-0.93107840) × cos(-1.14158526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416153559507942 × 6371000     		du = 127.104008866264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14156531)-sin(-1.14158526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416171699847408-0.416153559507942)×R²
    abs(0.93107840-0.93103046)×1.81403394658441e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81403394658441e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81403394658441e-05×40589641000000     		ar = 16155.4559327848m²