Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84958 / 97312
↖ ↑ ↗
← S 65.403445°
E 53.344116°		 ← 127.13 m → S 65.403445°
E 53.346863°		 →
↑
127.17 m
↓
↑
127.17 m
↓
S 65.404588°
E 53.344116°		 ← 127.12 m →
16 166 m²		 S 65.404588°
E 53.346863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648181915283203 y=0.742435455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648181915283203 × 217)
    floor (0.648181915283203 × 131072)
    floor (84958.5)     		tx = 84958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742435455322266 × 217)
    floor (0.742435455322266 × 131072)
    floor (97312.5)     		ty = 97312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84958 / 97312 ti = "17/84958/97312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84958/97312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84958 ÷ 217
    84958 ÷ 131072     		x = 0.648178100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97312 ÷ 217
    97312 ÷ 131072     		y = 0.742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648178100585938 × 2 - 1) × π
    0.296356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93103046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.48486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5232429223269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93103046} λ = 0.93103046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5232429223269))-π/2
    2×atan(0.218003770095419)-π/2
    2×0.214645436555361-π/2
    0.429290873110721-1.57079632675     		φ = -1.14150545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93103046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14150545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.403445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84958 KachelY 97312 0.93103046 -1.14150545 53.344116 -65.403445
    Oben rechts KachelX + 1 84959 KachelY 97312 0.93107840 -1.14150545 53.346863 -65.403445
    Unten links KachelX 84958 KachelY + 1 97313 0.93103046 -1.14152541 53.344116 -65.404588
    Unten rechts KachelX + 1 84959 KachelY + 1 97313 0.93107840 -1.14152541 53.346863 -65.404588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14150545--1.14152541) × R
    1.99600000001521e-05 × 6371000     		dl = 127.165160000969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14150545--1.14152541) × R
    1.99600000001521e-05 × 6371000     		dr = 127.165160000969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93103046-0.93107840) × cos(-1.14150545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416226128964564 × 6371000     		do = 127.126173446254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93103046-0.93107840) × cos(-1.14152541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41620798002942 × 6371000     		du = 127.120630294308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14150545)-sin(-1.14152541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416226128964564-0.41620798002942)×R²
    abs(0.93107840-0.93103046)×1.81489351435693e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81489351435693e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81489351435693e-05×40589641000000     		ar = 16165.6677392714m²