Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84957 / 97311
↖ ↑ ↗
← S 65.402302°
E 53.341370°		 ← 127.11 m → S 65.402302°
E 53.344116°		 →
↑
127.10 m
↓
↑
127.10 m
↓
S 65.403445°
E 53.341370°		 ← 127.10 m →
16 155 m²		 S 65.403445°
E 53.344116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648174285888672 y=0.742427825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648174285888672 × 217)
    floor (0.648174285888672 × 131072)
    floor (84957.5)     		tx = 84957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742427825927734 × 217)
    floor (0.742427825927734 × 131072)
    floor (97311.5)     		ty = 97311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84957 / 97311 ti = "17/84957/97311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84957/97311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84957 ÷ 217
    84957 ÷ 131072     		x = 0.648170471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97311 ÷ 217
    97311 ÷ 131072     		y = 0.742424011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648170471191406 × 2 - 1) × π
    0.296340942382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.93098253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742424011230469 × 2 - 1) × π
    -0.484848022460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.52319498542728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93098253} λ = 0.93098253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52319498542728))-π/2
    2×atan(0.218014220770747)-π/2
    2×0.214655413067784-π/2
    0.429310826135568-1.57079632675     		φ = -1.14148550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93098253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.341370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14148550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.402302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84957 KachelY 97311 0.93098253 -1.14148550 53.341370 -65.402302
    Oben rechts KachelX + 1 84958 KachelY 97311 0.93103046 -1.14148550 53.344116 -65.402302
    Unten links KachelX 84957 KachelY + 1 97312 0.93098253 -1.14150545 53.341370 -65.403445
    Unten rechts KachelX + 1 84958 KachelY + 1 97312 0.93103046 -1.14150545 53.344116 -65.403445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14148550--1.14150545) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dl = 127.101449999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14148550--1.14150545) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dr = 127.101449999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93098253-0.93103046) × cos(-1.14148550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416244268641354 × 6371000     		do = 127.105194848267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93098253-0.93103046) × cos(-1.14150545) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416226128964564 × 6371000     		du = 127.099655679739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14148550)-sin(-1.14150545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416244268641354-0.416226128964564)×R²
    abs(0.93103046-0.93098253)×1.81396767899855e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81396767899855e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81396767899855e-05×40589641000000     		ar = 16154.9025501164m²