Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84953 / 97306
↖ ↑ ↗
← S 65.396585°
E 53.330383°		 ← 127.16 m → S 65.396585°
E 53.333130°		 →
↑
127.17 m
↓
↑
127.17 m
↓
S 65.397728°
E 53.330383°		 ← 127.15 m →
16 170 m²		 S 65.397728°
E 53.333130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648143768310547 y=0.742389678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648143768310547 × 217)
    floor (0.648143768310547 × 131072)
    floor (84953.5)     		tx = 84953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742389678955078 × 217)
    floor (0.742389678955078 × 131072)
    floor (97306.5)     		ty = 97306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84953 / 97306 ti = "17/84953/97306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84953/97306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84953 ÷ 217
    84953 ÷ 131072     		x = 0.648139953613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97306 ÷ 217
    97306 ÷ 131072     		y = 0.742385864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648139953613281 × 2 - 1) × π
    0.296279907226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.93079078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742385864257812 × 2 - 1) × π
    -0.484771728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52295530092918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93079078} λ = 0.93079078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52295530092918))-π/2
    2×atan(0.218066481662644)-π/2
    2×0.214705302152999-π/2
    0.429410604305998-1.57079632675     		φ = -1.14138572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93079078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.330383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14138572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.396585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84953 KachelY 97306 0.93079078 -1.14138572 53.330383 -65.396585
    Oben rechts KachelX + 1 84954 KachelY 97306 0.93083872 -1.14138572 53.333130 -65.396585
    Unten links KachelX 84953 KachelY + 1 97307 0.93079078 -1.14140568 53.330383 -65.397728
    Unten rechts KachelX + 1 84954 KachelY + 1 97307 0.93083872 -1.14140568 53.333130 -65.397728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14138572--1.14140568) × R
    1.99600000001521e-05 × 6371000     		dl = 127.165160000969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14138572--1.14140568) × R
    1.99600000001521e-05 × 6371000     		dr = 127.165160000969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93079078-0.93083872) × cos(-1.14138572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416334991816504 × 6371000     		do = 127.159422963366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93079078-0.93083872) × cos(-1.14140568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416316843876171 × 6371000     		du = 127.153880115261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14138572)-sin(-1.14140568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416334991816504-0.416316843876171)×R²
    abs(0.93083872-0.93079078)×1.81479403335016e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81479403335016e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81479403335016e-05×40589641000000     		ar = 16169.8959386617m²