Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8495 / 8693
↖ ↑ ↗
← S 10.941192°
E  6.657715°		 ← 2 398.87 m → S 10.941192°
E  6.679688°		 →
↑
2 398.75 m
↓
↑
2 398.75 m
↓
S 10.962764°
E  6.657715°		 ← 2 398.69 m →
5 754 058 m²		 S 10.962764°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518524169921875 y=0.530609130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518524169921875 × 214)
    floor (0.518524169921875 × 16384)
    floor (8495.5)     		tx = 8495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530609130859375 × 214)
    floor (0.530609130859375 × 16384)
    floor (8693.5)     		ty = 8693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8495 / 8693 ti = "14/8495/8693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8495/8693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8495 ÷ 214
    8495 ÷ 16384     		x = 0.51849365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8693 ÷ 214
    8693 ÷ 16384     		y = 0.53057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51849365234375 × 2 - 1) × π
    0.0369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11619904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0611572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.192131093677185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11619904} λ = 0.11619904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192131093677185))-π/2
    2×atan(0.825198683070853)-π/2
    2×0.689918252956144-π/2
    1.37983650591229-1.57079632675     		φ = -0.19095982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11619904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.657715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19095982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.941192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8495 KachelY 8693 0.11619904 -0.19095982 6.657715 -10.941192
    Oben rechts KachelX + 1 8496 KachelY 8693 0.11658254 -0.19095982 6.679688 -10.941192
    Unten links KachelX 8495 KachelY + 1 8694 0.11619904 -0.19133633 6.657715 -10.962764
    Unten rechts KachelX + 1 8496 KachelY + 1 8694 0.11658254 -0.19133633 6.679688 -10.962764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19095982--0.19133633) × R
    0.000376509999999997 × 6371000     		dl = 2398.74520999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19095982--0.19133633) × R
    0.000376509999999997 × 6371000     		dr = 2398.74520999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11619904-0.11658254) × cos(-0.19095982) × R
    0.000383499999999995 × 0.981822512262684 × 6371000     		do = 2398.86583502737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11619904-0.11658254) × cos(-0.19133633) × R
    0.000383499999999995 × 0.981750980564677 × 6371000     		du = 2398.69106316756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19095982)-sin(-0.19133633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981822512262684-0.981750980564677)×R²
    abs(0.11658254-0.11619904)×7.15316980074432e-05×R²
    0.000383499999999995×7.15316980074432e-05×6371000²
    0.000383499999999995×7.15316980074432e-05×40589641000000     		ar = 5754058.38259834m²