Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8495 / 5425
↖ ↑ ↗
← N 76.055861°
W 86.671142°		 ← 294.37 m → N 76.055861°
W 86.660156°		 →
↑
294.47 m
↓
↑
294.47 m
↓
N 76.053213°
W 86.671142°		 ← 294.42 m →
86 691 m²		 N 76.053213°
W 86.660156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259262084960938 y=0.165573120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259262084960938 × 215)
    floor (0.259262084960938 × 32768)
    floor (8495.5)     		tx = 8495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165573120117188 × 215)
    floor (0.165573120117188 × 32768)
    floor (5425.5)     		ty = 5425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8495 / 5425 ti = "15/8495/5425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8495/5425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8495 ÷ 215
    8495 ÷ 32768     		x = 0.259246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5425 ÷ 215
    5425 ÷ 32768     		y = 0.165557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.48150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.51269680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165557861328125 × 2 - 1) × π
    0.66888427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10136193174478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51269680} λ = -1.51269680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10136193174478))-π/2
    2×atan(8.17729925558736)-π/2
    2×1.4491107559372-π/2
    2.89822151187441-1.57079632675     		φ = 1.32742519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51269680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.671142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32742519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.055861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8495 KachelY 5425 -1.51269680 1.32742519 -86.671142 76.055861
    Oben rechts KachelX + 1 8496 KachelY 5425 -1.51250506 1.32742519 -86.660156 76.055861
    Unten links KachelX 8495 KachelY + 1 5426 -1.51269680 1.32737897 -86.671142 76.053213
    Unten rechts KachelX + 1 8496 KachelY + 1 5426 -1.51250506 1.32737897 -86.660156 76.053213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32742519-1.32737897) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dl = 294.467619999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32742519-1.32737897) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dr = 294.467619999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51269680--1.51250506) × cos(1.32742519) × R
    0.000191739999999996 × 0.240975782720215 × 6371000     		do = 294.370121903363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51269680--1.51250506) × cos(1.32737897) × R
    0.000191739999999996 × 0.241020640411579 × 6371000     		du = 294.424918961914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32742519)-sin(1.32737897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240975782720215-0.241020640411579)×R²
    abs(-1.51250506--1.51269680)×4.48576913643639e-05×R²
    0.000191739999999996×4.48576913643639e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.48576913643639e-05×40589641000000     		ar = 86690.5371915763m²