Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8494 / 8667
↖ ↑ ↗
← S 10.379765°
E  6.635742°		 ← 2 403.23 m → S 10.379765°
E  6.657715°		 →
↑
2 403.20 m
↓
↑
2 403.20 m
↓
S 10.401378°
E  6.635742°		 ← 2 403.07 m →
5 775 259 m²		 S 10.401378°
E  6.657715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518463134765625 y=0.529022216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518463134765625 × 214)
    floor (0.518463134765625 × 16384)
    floor (8494.5)     		tx = 8494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529022216796875 × 214)
    floor (0.529022216796875 × 16384)
    floor (8667.5)     		ty = 8667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8494 / 8667 ti = "14/8494/8667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8494/8667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8494 ÷ 214
    8494 ÷ 16384     		x = 0.5184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8667 ÷ 214
    8667 ÷ 16384     		y = 0.52899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    0.036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11581555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.182160218556213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11581555} λ = 0.11581555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182160218556213))-π/2
    2×atan(0.833467792711212)-π/2
    2×0.694817624024928-π/2
    1.38963524804986-1.57079632675     		φ = -0.18116108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11581555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18116108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.379765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8494 KachelY 8667 0.11581555 -0.18116108 6.635742 -10.379765
    Oben rechts KachelX + 1 8495 KachelY 8667 0.11619904 -0.18116108 6.657715 -10.379765
    Unten links KachelX 8494 KachelY + 1 8668 0.11581555 -0.18153829 6.635742 -10.401378
    Unten rechts KachelX + 1 8495 KachelY + 1 8668 0.11619904 -0.18153829 6.657715 -10.401378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18116108--0.18153829) × R
    0.000377209999999989 × 6371000     		dl = 2403.20490999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18116108--0.18153829) × R
    0.000377209999999989 × 6371000     		dr = 2403.20490999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11581555-0.11619904) × cos(-0.18116108) × R
    0.00038349 × 0.983635162014618 × 6371000     		do = 2403.23197579816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11581555-0.11619904) × cos(-0.18153829) × R
    0.00038349 × 0.983567129442025 × 6371000     		du = 2403.0657576106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18116108)-sin(-0.18153829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983635162014618-0.983567129442025)×R²
    abs(0.11619904-0.11581555)×6.80325725926911e-05×R²
    0.00038349×6.80325725926911e-05×6371000²
    0.00038349×6.80325725926911e-05×40589641000000     		ar = 5775259.22440358m²