Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8494 / 5424
↖ ↑ ↗
← N 76.058508°
W 86.682129°		 ← 294.33 m → N 76.058508°
W 86.671142°		 →
↑
294.34 m
↓
↑
294.34 m
↓
N 76.055861°
W 86.682129°		 ← 294.39 m →
86 641 m²		 N 76.055861°
W 86.671142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259231567382812 y=0.165542602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259231567382812 × 215)
    floor (0.259231567382812 × 32768)
    floor (8494.5)     		tx = 8494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165542602539062 × 215)
    floor (0.165542602539062 × 32768)
    floor (5424.5)     		ty = 5424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8494 / 5424 ti = "15/8494/5424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8494/5424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8494 ÷ 215
    8494 ÷ 32768     		x = 0.25921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5424 ÷ 215
    5424 ÷ 32768     		y = 0.16552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.4815673828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51288855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16552734375 × 2 - 1) × π
    0.6689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10155367934326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51288855} λ = -1.51288855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10155367934326))-π/2
    2×atan(8.17886738341924)-π/2
    2×1.44913385705188-π/2
    2.89826771410375-1.57079632675     		φ = 1.32747139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51288855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.682129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32747139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.058508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8494 KachelY 5424 -1.51288855 1.32747139 -86.682129 76.058508
    Oben rechts KachelX + 1 8495 KachelY 5424 -1.51269680 1.32747139 -86.671142 76.058508
    Unten links KachelX 8494 KachelY + 1 5425 -1.51288855 1.32742519 -86.682129 76.055861
    Unten rechts KachelX + 1 8495 KachelY + 1 5425 -1.51269680 1.32742519 -86.671142 76.055861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32747139-1.32742519) × R
    4.61999999998852e-05 × 6371000     		dl = 294.340199999269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32747139-1.32742519) × R
    4.61999999998852e-05 × 6371000     		dr = 294.340199999269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51288855--1.51269680) × cos(1.32747139) × R
    0.000191749999999935 × 0.240930943924902 × 6371000     		do = 294.33069763811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51288855--1.51269680) × cos(1.32742519) × R
    0.000191749999999935 × 0.240975782720215 × 6371000     		du = 294.385474470386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32747139)-sin(1.32742519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240930943924902-0.240975782720215)×R²
    abs(-1.51269680--1.51288855)×4.48387953127793e-05×R²
    0.000191749999999935×4.48387953127793e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.48387953127793e-05×40589641000000     		ar = 86641.4179354811m²