Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8492 / 8691
↖ ↑ ↗
← S 10.898042°
E  6.591797°		 ← 2 399.15 m → S 10.898042°
E  6.613769°		 →
↑
2 399.06 m
↓
↑
2 399.06 m
↓
S 10.919618°
E  6.591797°		 ← 2 398.98 m →
5 755 509 m²		 S 10.919618°
E  6.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518341064453125 y=0.530487060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518341064453125 × 214)
    floor (0.518341064453125 × 16384)
    floor (8492.5)     		tx = 8492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530487060546875 × 214)
    floor (0.530487060546875 × 16384)
    floor (8691.5)     		ty = 8691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8492 / 8691 ti = "14/8492/8691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8492/8691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8492 ÷ 214
    8492 ÷ 16384     		x = 0.518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8691 ÷ 214
    8691 ÷ 16384     		y = 0.53045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518310546875 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.191364103283264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11504856} λ = 0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191364103283264))-π/2
    2×atan(0.825831845317486)-π/2
    2×0.690294804545947-π/2
    1.38058960909189-1.57079632675     		φ = -0.19020672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19020672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.898042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8492 KachelY 8691 0.11504856 -0.19020672 6.591797 -10.898042
    Oben rechts KachelX + 1 8493 KachelY 8691 0.11543205 -0.19020672 6.613769 -10.898042
    Unten links KachelX 8492 KachelY + 1 8692 0.11504856 -0.19058328 6.591797 -10.919618
    Unten rechts KachelX + 1 8493 KachelY + 1 8692 0.11543205 -0.19058328 6.613769 -10.919618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19020672--0.19058328) × R
    0.000376559999999998 × 6371000     		dl = 2399.06375999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19020672--0.19058328) × R
    0.000376559999999998 × 6371000     		dr = 2399.06375999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11504856-0.11543205) × cos(-0.19020672) × R
    0.00038349 × 0.981965173224708 × 6371000     		do = 2399.15183448752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11504856-0.11543205) × cos(-0.19058328) × R
    0.00038349 × 0.9818939104607 × 6371000     		du = 2398.97772424852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19020672)-sin(-0.19058328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981965173224708-0.9818939104607)×R²
    abs(0.11543205-0.11504856)×7.12627640079289e-05×R²
    0.00038349×7.12627640079289e-05×6371000²
    0.00038349×7.12627640079289e-05×40589641000000     		ar = 5755509.43808369m²