Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8491 / 24813
↖ ↑ ↗
← N 39.989747°
W133.357544°		 ← 467.96 m → N 39.989747°
W133.352051°		 →
↑
468.01 m
↓
↑
468.01 m
↓
N 39.985539°
W133.357544°		 ← 467.99 m →
219 019 m²		 N 39.985539°
W133.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129570007324219 y=0.378623962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129570007324219 × 216)
    floor (0.129570007324219 × 65536)
    floor (8491.5)     		tx = 8491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378623962402344 × 216)
    floor (0.378623962402344 × 65536)
    floor (24813.5)     		ty = 24813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8491 / 24813 ti = "16/8491/24813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8491/24813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8491 ÷ 216
    8491 ÷ 65536     		x = 0.129562377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24813 ÷ 216
    24813 ÷ 65536     		y = 0.378616333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129562377929688 × 2 - 1) × π
    -0.740875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32752822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378616333007812 × 2 - 1) × π
    0.242767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.762676072955093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32752822} λ = -2.32752822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762676072955093))-π/2
    2×atan(2.14400606698516)-π/2
    2×1.13437454108996-π/2
    2.26874908217992-1.57079632675     		φ = 0.69795276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32752822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.357544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69795276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.989747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8491 KachelY 24813 -2.32752822 0.69795276 -133.357544 39.989747
    Oben rechts KachelX + 1 8492 KachelY 24813 -2.32743235 0.69795276 -133.352051 39.989747
    Unten links KachelX 8491 KachelY + 1 24814 -2.32752822 0.69787930 -133.357544 39.985539
    Unten rechts KachelX + 1 8492 KachelY + 1 24814 -2.32743235 0.69787930 -133.352051 39.985539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69795276-0.69787930) × R
    7.34599999999697e-05 × 6371000     		dl = 468.013659999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69795276-0.69787930) × R
    7.34599999999697e-05 × 6371000     		dr = 468.013659999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32752822--2.32743235) × cos(0.69795276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766159451781715 × 6371000     		do = 467.960823018166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32752822--2.32743235) × cos(0.69787930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766206658821837 × 6371000     		du = 467.98965650093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69795276)-sin(0.69787930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766159451781715-0.766206658821837)×R²
    abs(-2.32743235--2.32752822)×4.72070401212887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72070401212887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72070401212887e-05×40589641000000     		ar = 219018.804847595m²