Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8491 / 12444
↖ ↑ ↗
← S 67.842416°
E  6.569824°		 ← 921.50 m → S 67.842416°
E  6.591797°		 →
↑
921.31 m
↓
↑
921.31 m
↓
S 67.850702°
E  6.569824°		 ← 921.17 m →
848 832 m²		 S 67.850702°
E  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518280029296875 y=0.759552001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518280029296875 × 214)
    floor (0.518280029296875 × 16384)
    floor (8491.5)     		tx = 8491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759552001953125 × 214)
    floor (0.759552001953125 × 16384)
    floor (12444.5)     		ty = 12444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8491 / 12444 ti = "14/8491/12444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8491/12444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8491 ÷ 214
    8491 ÷ 16384     		x = 0.51824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12444 ÷ 214
    12444 ÷ 16384     		y = 0.759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51824951171875 × 2 - 1) × π
    0.0364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11466506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.51904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63062157747583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11466506} λ = 0.11466506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63062157747583))-π/2
    2×atan(0.195807826558476)-π/2
    2×0.193361393422256-π/2
    0.386722786844511-1.57079632675     		φ = -1.18407354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11466506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18407354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.842416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8491 KachelY 12444 0.11466506 -1.18407354 6.569824 -67.842416
    Oben rechts KachelX + 1 8492 KachelY 12444 0.11504856 -1.18407354 6.591797 -67.842416
    Unten links KachelX 8491 KachelY + 1 12445 0.11466506 -1.18421815 6.569824 -67.850702
    Unten rechts KachelX + 1 8492 KachelY + 1 12445 0.11504856 -1.18421815 6.591797 -67.850702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18407354--1.18421815) × R
    0.000144609999999989 × 6371000     		dl = 921.310309999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18407354--1.18421815) × R
    0.000144609999999989 × 6371000     		dr = 921.310309999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11466506-0.11504856) × cos(-1.18407354) × R
    0.000383499999999995 × 0.377155254730462 × 6371000     		do = 921.49532504495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11466506-0.11504856) × cos(-1.18421815) × R
    0.000383499999999995 × 0.377021320228754 × 6371000     		du = 921.168085756517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18407354)-sin(-1.18421815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377155254730462-0.377021320228754)×R²
    abs(0.11504856-0.11466506)×0.00013393450170851×R²
    0.000383499999999995×0.00013393450170851×6371000²
    0.000383499999999995×0.00013393450170851×40589641000000     		ar = 848832.400593992m²