Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8489 / 5921
↖ ↑ ↗
← N 44.574818°
E  6.525879°		 ← 1 740.43 m → N 44.574818°
E  6.547852°		 →
↑
1 740.68 m
↓
↑
1 740.68 m
↓
N 44.559163°
E  6.525879°		 ← 1 740.90 m →
3 029 951 m²		 N 44.559163°
E  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518157958984375 y=0.361419677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518157958984375 × 214)
    floor (0.518157958984375 × 16384)
    floor (8489.5)     		tx = 8489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361419677734375 × 214)
    floor (0.361419677734375 × 16384)
    floor (5921.5)     		ty = 5921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8489 / 5921 ti = "14/8489/5921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8489/5921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8489 ÷ 214
    8489 ÷ 16384     		x = 0.51812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5921 ÷ 214
    5921 ÷ 16384     		y = 0.36138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51812744140625 × 2 - 1) × π
    0.0362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11389807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36138916015625 × 2 - 1) × π
    0.2772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.87091759229718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11389807} λ = 0.11389807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87091759229718))-π/2
    2×atan(2.38910206970533)-π/2
    2×1.17438682698197-π/2
    2.34877365396394-1.57079632675     		φ = 0.77797733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11389807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77797733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.574818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8489 KachelY 5921 0.11389807 0.77797733 6.525879 44.574818
    Oben rechts KachelX + 1 8490 KachelY 5921 0.11428157 0.77797733 6.547852 44.574818
    Unten links KachelX 8489 KachelY + 1 5922 0.11389807 0.77770411 6.525879 44.559163
    Unten rechts KachelX + 1 8490 KachelY + 1 5922 0.11428157 0.77770411 6.547852 44.559163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77797733-0.77770411) × R
    0.000273220000000074 × 6371000     		dl = 1740.68462000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77797733-0.77770411) × R
    0.000273220000000074 × 6371000     		dr = 1740.68462000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11389807-0.11428157) × cos(0.77797733) × R
    0.000383499999999995 × 0.712334584983077 × 6371000     		do = 1740.43177629555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11389807-0.11428157) × cos(0.77770411) × R
    0.000383499999999995 × 0.7125263151283 × 6371000     		du = 1740.90022643718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77797733)-sin(0.77770411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712334584983077-0.7125263151283)×R²
    abs(0.11428157-0.11389807)×0.000191730145223556×R²
    0.000383499999999995×0.000191730145223556×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191730145223556×40589641000000     		ar = 3029950.55598372m²