Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8488 / 5320
↖ ↑ ↗
← N 76.331143°
W 86.748047°		 ← 288.69 m → N 76.331143°
W 86.737061°		 →
↑
288.73 m
↓
↑
288.73 m
↓
N 76.328546°
W 86.748047°		 ← 288.74 m →
83 361 m²		 N 76.328546°
W 86.737061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259048461914062 y=0.162368774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259048461914062 × 215)
    floor (0.259048461914062 × 32768)
    floor (8488.5)     		tx = 8488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162368774414062 × 215)
    floor (0.162368774414062 × 32768)
    floor (5320.5)     		ty = 5320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8488 / 5320 ti = "15/8488/5320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8488/5320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8488 ÷ 215
    8488 ÷ 32768     		x = 0.259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5320 ÷ 215
    5320 ÷ 32768     		y = 0.162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259033203125 × 2 - 1) × π
    -0.48193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.51403904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162353515625 × 2 - 1) × π
    0.67529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12149542958521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51403904} λ = -1.51403904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12149542958521))-π/2
    2×atan(8.34360543731204)-π/2
    2×1.45151304230934-π/2
    2.90302608461867-1.57079632675     		φ = 1.33222976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51403904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.748047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33222976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.331143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8488 KachelY 5320 -1.51403904 1.33222976 -86.748047 76.331143
    Oben rechts KachelX + 1 8489 KachelY 5320 -1.51384729 1.33222976 -86.737061 76.331143
    Unten links KachelX 8488 KachelY + 1 5321 -1.51403904 1.33218444 -86.748047 76.328546
    Unten rechts KachelX + 1 8489 KachelY + 1 5321 -1.51384729 1.33218444 -86.737061 76.328546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33222976-1.33218444) × R
    4.53199999999043e-05 × 6371000     		dl = 288.73371999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33222976-1.33218444) × R
    4.53199999999043e-05 × 6371000     		dr = 288.73371999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51403904--1.51384729) × cos(1.33222976) × R
    0.000191749999999935 × 0.236310034590014 × 6371000     		do = 288.685613423921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51403904--1.51384729) × cos(1.33218444) × R
    0.000191749999999935 × 0.236354070781031 × 6371000     		du = 288.739409763288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33222976)-sin(1.33218444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236310034590014-0.236354070781031)×R²
    abs(-1.51384729--1.51403904)×4.40361910168385e-05×R²
    0.000191749999999935×4.40361910168385e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.40361910168385e-05×40589641000000     		ar = 83361.037497358m²