Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8487 / 5922
↖ ↑ ↗
← N 44.559163°
E  6.481933°		 ← 1 740.90 m → N 44.559163°
E  6.503906°		 →
↑
1 741.07 m
↓
↑
1 741.07 m
↓
N 44.543505°
E  6.481933°		 ← 1 741.37 m →
3 031 432 m²		 N 44.543505°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518035888671875 y=0.361480712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518035888671875 × 214)
    floor (0.518035888671875 × 16384)
    floor (8487.5)     		tx = 8487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361480712890625 × 214)
    floor (0.361480712890625 × 16384)
    floor (5922.5)     		ty = 5922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8487 / 5922 ti = "14/8487/5922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8487/5922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8487 ÷ 214
    8487 ÷ 16384     		x = 0.51800537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5922 ÷ 214
    5922 ÷ 16384     		y = 0.3614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51800537109375 × 2 - 1) × π
    0.0360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11313108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3614501953125 × 2 - 1) × π
    0.277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.87053409710022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11313108} λ = 0.11313108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87053409710022))-π/2
    2×atan(2.388186036195)-π/2
    2×1.17425022015411-π/2
    2.34850044030821-1.57079632675     		φ = 0.77770411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11313108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.481933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77770411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.559163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8487 KachelY 5922 0.11313108 0.77770411 6.481933 44.559163
    Oben rechts KachelX + 1 8488 KachelY 5922 0.11351458 0.77770411 6.503906 44.559163
    Unten links KachelX 8487 KachelY + 1 5923 0.11313108 0.77743083 6.481933 44.543505
    Unten rechts KachelX + 1 8488 KachelY + 1 5923 0.11351458 0.77743083 6.503906 44.543505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77770411-0.77743083) × R
    0.000273279999999931 × 6371000     		dl = 1741.06687999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77770411-0.77743083) × R
    0.000273279999999931 × 6371000     		dr = 1741.06687999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11313108-0.11351458) × cos(0.77770411) × R
    0.000383500000000009 × 0.7125263151283 × 6371000     		do = 1740.90022643724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11313108-0.11351458) × cos(0.77743083) × R
    0.000383500000000009 × 0.712718034171067 × 6371000     		du = 1741.36864945247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77770411)-sin(0.77743083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7125263151283-0.712718034171067)×R²
    abs(0.11351458-0.11313108)×0.000191719042766714×R²
    0.000383500000000009×0.000191719042766714×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191719042766714×40589641000000     		ar = 3031431.52239908m²