Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8487 / 5318
↖ ↑ ↗
← N 76.336334°
W 86.759033°		 ← 288.58 m → N 76.336334°
W 86.748047°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 76.333739°
W 86.759033°		 ← 288.63 m →
83 275 m²		 N 76.333739°
W 86.748047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259017944335938 y=0.162307739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259017944335938 × 215)
    floor (0.259017944335938 × 32768)
    floor (8487.5)     		tx = 8487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162307739257812 × 215)
    floor (0.162307739257812 × 32768)
    floor (5318.5)     		ty = 5318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8487 / 5318 ti = "15/8487/5318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8487/5318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8487 ÷ 215
    8487 ÷ 32768     		x = 0.259002685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5318 ÷ 215
    5318 ÷ 32768     		y = 0.16229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.48199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.51423079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16229248046875 × 2 - 1) × π
    0.6754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12187892478217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51423079} λ = -1.51423079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12187892478217))-π/2
    2×atan(8.34680578354207)-π/2
    2×1.45155834574999-π/2
    2.90311669149998-1.57079632675     		φ = 1.33232036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51423079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.759033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33232036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.336334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8487 KachelY 5318 -1.51423079 1.33232036 -86.759033 76.336334
    Oben rechts KachelX + 1 8488 KachelY 5318 -1.51403904 1.33232036 -86.748047 76.336334
    Unten links KachelX 8487 KachelY + 1 5319 -1.51423079 1.33227507 -86.759033 76.333739
    Unten rechts KachelX + 1 8488 KachelY + 1 5319 -1.51403904 1.33227507 -86.748047 76.333739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33232036-1.33227507) × R
    4.52900000000866e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33232036-1.33227507) × R
    4.52900000000866e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51423079--1.51403904) × cos(1.33232036) × R
    0.000191750000000157 × 0.236221999619962 × 6371000     		do = 288.578066449467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51423079--1.51403904) × cos(1.33227507) × R
    0.000191750000000157 × 0.236266007630524 × 6371000     		du = 288.631828362483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33232036)-sin(1.33227507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236221999619962-0.236266007630524)×R²
    abs(-1.51403904--1.51423079)×4.40080105615082e-05×R²
    0.000191750000000157×4.40080105615082e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.40080105615082e-05×40589641000000     		ar = 83274.819026501m²