Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8486 / 8662
↖ ↑ ↗
← S 10.271681°
E  6.459961°		 ← 2 404.06 m → S 10.271681°
E  6.481933°		 →
↑
2 403.97 m
↓
↑
2 403.97 m
↓
S 10.293301°
E  6.459961°		 ← 2 403.89 m →
5 779 084 m²		 S 10.293301°
E  6.481933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517974853515625 y=0.528717041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517974853515625 × 214)
    floor (0.517974853515625 × 16384)
    floor (8486.5)     		tx = 8486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528717041015625 × 214)
    floor (0.528717041015625 × 16384)
    floor (8662.5)     		ty = 8662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8486 / 8662 ti = "14/8486/8662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8486/8662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8486 ÷ 214
    8486 ÷ 16384     		x = 0.5179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8662 ÷ 214
    8662 ÷ 16384     		y = 0.5286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5179443359375 × 2 - 1) × π
    0.035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11274759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11274759} λ = 0.11274759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180242742571411))-π/2
    2×atan(0.835067480379052)-π/2
    2×0.695760834784867-π/2
    1.39152166956973-1.57079632675     		φ = -0.17927466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11274759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17927466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.271681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8486 KachelY 8662 0.11274759 -0.17927466 6.459961 -10.271681
    Oben rechts KachelX + 1 8487 KachelY 8662 0.11313108 -0.17927466 6.481933 -10.271681
    Unten links KachelX 8486 KachelY + 1 8663 0.11274759 -0.17965199 6.459961 -10.293301
    Unten rechts KachelX + 1 8487 KachelY + 1 8663 0.11313108 -0.17965199 6.481933 -10.293301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17927466--0.17965199) × R
    0.000377330000000009 × 6371000     		dl = 2403.96943000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17927466--0.17965199) × R
    0.000377330000000009 × 6371000     		dr = 2403.96943000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11274759-0.11313108) × cos(-0.17927466) × R
    0.00038349 × 0.98397329127854 × 6371000     		do = 2404.05809821671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11274759-0.11313108) × cos(-0.17965199) × R
    0.00038349 × 0.983905937291585 × 6371000     		du = 2403.89353795961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17927466)-sin(-0.17965199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98397329127854-0.983905937291585)×R²
    abs(0.11313108-0.11274759)×6.73539869547879e-05×R²
    0.00038349×6.73539869547879e-05×6371000²
    0.00038349×6.73539869547879e-05×40589641000000     		ar = 5779084.44571125m²