Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8485 / 7850
↖ ↑ ↗
← N 79.518659°
W133.390503°		 ← 111.12 m → N 79.518659°
W133.385010°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
N 79.517660°
W133.390503°		 ← 111.13 m →
12 348 m²		 N 79.517660°
W133.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129478454589844 y=0.119789123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129478454589844 × 216)
    floor (0.129478454589844 × 65536)
    floor (8485.5)     		tx = 8485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119789123535156 × 216)
    floor (0.119789123535156 × 65536)
    floor (7850.5)     		ty = 7850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8485 / 7850 ti = "16/8485/7850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8485/7850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8485 ÷ 216
    8485 ÷ 65536     		x = 0.129470825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7850 ÷ 216
    7850 ÷ 65536     		y = 0.119781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129470825195312 × 2 - 1) × π
    -0.741058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32810347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119781494140625 × 2 - 1) × π
    0.76043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38898332946512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32810347} λ = -2.32810347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38898332946512))-π/2
    2×atan(10.9024041536038)-π/2
    2×1.4793293719205-π/2
    2.95865874384099-1.57079632675     		φ = 1.38786242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32810347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.390503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38786242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.518659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8485 KachelY 7850 -2.32810347 1.38786242 -133.390503 79.518659
    Oben rechts KachelX + 1 8486 KachelY 7850 -2.32800759 1.38786242 -133.385010 79.518659
    Unten links KachelX 8485 KachelY + 1 7851 -2.32810347 1.38784498 -133.390503 79.517660
    Unten rechts KachelX + 1 8486 KachelY + 1 7851 -2.32800759 1.38784498 -133.385010 79.517660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38786242-1.38784498) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dl = 111.110240000932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38786242-1.38784498) × R
    1.74400000001462e-05 × 6371000     		dr = 111.110240000932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32810347--2.32800759) × cos(1.38786242) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18191530445449 × 6371000     		do = 111.123232960603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32810347--2.32800759) × cos(1.38784498) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181932453426526 × 6371000     		du = 111.133708435552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38786242)-sin(1.38784498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18191530445449-0.181932453426526)×R²
    abs(-2.32800759--2.32810347)×1.71489720361406e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71489720361406e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71489720361406e-05×40589641000000     		ar = 12347.5110506967m²